[論文レビュー] On Laplacian like energy of trees

Aleksandar Ilić, Djordje Krtinic+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2011

Graph theory and applications参考文献 26被引用数 46

ひとこと要約

この論文は、木におけるラプラシアン類似エネルギー（LEL）に関する先行研究における誤った証明を是正し、$k=1,\ldots,n-1$ に対してラプラシアン係数 $c_k$ に関してLELが厳密に増加することを確立している。著者らは逆ヤコビ行列と連続性の議論を用いた初等的証明を提示し、すべての $k$ に対して $c_k(G) \leq c_k(H)$ が成り立つならば $LEL(G) \leq LEL(H)$ であることを示しており、$c_k$ のいずれかが $G$ で厳密に小さい場合には厳密な不等号が成り立つ。この結果は、インシデントエネルギーの同値性を介して二部グラフへと拡張可能である。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple undirected $n$-vertex graph with the characteristic polynomial of its Laplacian matrix $L(G)$, $\det (λI - L (G))=\sum_{k = 0}^n (-1)^k c_k λ^{n - k}$. Laplacian--like energy of a graph is newly proposed graph invariant, defined as the sum of square roots of Laplacian eigenvalues. For bipartite graphs, the Laplacian--like energy coincides with the recently defined incidence energy $IE (G)$ of a graph. In [D. Stevanovi\' c, extit{Laplacian--like energy of trees}, MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 61 (2009), 407--417.] the author introduced a partial ordering of graphs based on Laplacian coefficients. We point out that original proof was incorrect and illustrate the error on the example using Laplacian Estrada index. Furthermore, we found the inverse of Jacobian matrix with elements representing derivatives of symmetric polynomials of order $n$, and provide a corrected elementary proof of the fact: Let $G$ and $H$ be two $n$-vertex graphs; if for Laplacian coefficients holds $c_k (G) \leqslant c_k (H)$ for $k = 1, 2, ..., n - 1$, then $LEL (G) \leqslant LEL (H)$. In addition, we generalize this theorem and provide a necessary condition for functions that satisfy partial ordering based on Laplacian coefficients.

研究の動機と目的

• ラプラシアン類似エネルギー（LEL）とラプラシアン係数の関係を示す定理の元々の証明に存在する誤りを特定・是正すること。
• すべての $k=1,\ldots,n-1$ に対して、LELがラプラシアン係数 $c_k$ に関して厳密に増加することを、厳密で初等的な証明により確立すること。
• ラプラシアン係数に基づく部分順序に基づく関数へのこの順序付けの一般化を図ること。
• 固有値が相異なる場合から、重複固有値を含む閉包領域への拡張を連続性を用いて行うこと。

提案手法

• グラフの非ゼロラプラシアン固有値の平方根の和としてラプラシアン類似エネルギー（LEL）を定義する。
• ビエートの公式を用いて、ラプラシアン係数 $c_k$ を固有値 $\mu_i$ の初等対称多項式として表現する。
• 固有値から係数への変換のヤコビアン行列を計算し、その逆行列を導出し、LELの $c_k$ に関する偏導関数の分析を行う。
• 連鎖律を適用し、$\partial LEL / \partial c_k$ を $1/(2\sqrt{\mu_i})$ と $\partial \mu_i / \partial c_k$ の導関数を含む和として表現する。この際、多項式の根の微分を用いる。
• ロルの定理と $f(x) = x^{n-k-3/2}$ の高階導関数の性質を用いて、$\partial LEL / \partial c_k$ の符号を決定し、それが正であることを証明する。
• 連続性を用いて、固有値が相異なる領域の閉包へと結果を拡張し、固有値に重複が生じる場合でも不等号が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $n$ 頂点グラフに対して、$c_k(G) \leq c_k(H)$ ならば $LEL(G) \leq LEL(H)$ を示す定理の元々の証明は正しいか？
• RQ2 LEL がラプラシアン係数 $c_k$ に関して単調増加であることを確立する正しい解析的手法は何か？
• RQ3 $c_k$ に基づく部分順序は、固有値の他の関数へ一般化可能か？
• RQ4 固有値が相異なる場合の結果を、重複固有値を含む場合へどのように拡張できるか？
• RQ5 固有値が相異なる場合でも、LEL が各 $c_k$ に関して厳密に増加し続けるか？

主な発見

• ラプラシアン・エストラダ・インデックスを用いた反例により、LEL とラプラシアン係数を結びつける定理の元々の証明が誤りであることが示された。
• $k=1,\ldots,n-1$ 全てに対して $\partial LEL / \partial c_k > 0$ であることを示す修正済みの初等的証明が提示され、LEL が各係数に関して厳密に増加することを示している。
• すべての $n$ 頂点グラフに対して成り立つ：すべての $k=1,\ldots,n-1$ に対して $c_k(G) \leq c_k(H)$ ならば $LEL(G) \leq LEL(H)$ であり、$G$ でいずれかの $c_k$ が厳密に小さい場合には厳密な不等号が成り立つ。
• 固有値が相異なる領域の閉包へと連続性を用いて結果を拡張し、固有値に重複が生じる場合でも不等号が成り立つことを保証した。
• この手法は、ラプラシアン係数に基づく部分順序を満たす関数を分析する一般枠組みを提供する。
• 二部グラフでは LEL がインシデントエネルギー $IE(G)$ と一致し、順序付けの結果は $IE(G)$ に対しても直接適用可能である。