[論文レビュー] On Large N Conformal Theories, Field Theories in Anti-De Sitter Space and Singletons

I. Ya. Aref’eva, И. В. Волович|ArXiv.org|Mar 4, 1998

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用数 46

ひとこと要約

この論文は、MaldacenaのAdS/CFT双対性を、$p$-ブレーン背景における共形場理論の$N$が非常に大きい極限に拡張する。$p$-ブレーン背景における共形場理論の$N \to \infty$極限は、対応する時空幾何における超重力で記述可能であると提唱する。自己相互作用を伴うスカラー場モデルを用い、古典的AdS作用素を介して3点および4点相関関数を計算し、それらを$N$が非常に大きいCFTの結果と一致させる。このことは、CFTにおける生成関数が超重力作用素によって与えられることを支持する。さらに、複合場の基本的構成要素であるシングレット（singleton）が量子ボルツマン統計に従うと示唆する。

ABSTRACT

It was proposed by Maldacena that the large $N$ limit of certain conformal field theories can be described in terms of supergravity on anti-De Sitter spaces (AdS). Recently, Gubser, Klebanov and Polyakov and Witten have conjectured that the generating functional for certain correlation functions in conformal field theory is given by the classical supergravity action on AdS. It was shown that the spectra of states of the two theories are matched and the two-point correlation function was studied. We discuss the interacting case and compare the three- and four-point correlation functions computed from a classical action on AdS with the large N limit of conformal theory. We discuss also the large N limit for the Wilson loop and suggest that singletons which according to Flato and Fronsdal are constituents of composite fields in spacetime should obey the quantum Boltzmann statistics.

研究の動機と目的

• Maldacenaの$N$が非常に大きいAdS/CFT双対性を、反de Sitter空間から$p$-ブレーン背景へ拡張すること。
• Gubser-Klebanov-PolyakovおよびWittenの予想を検証すること。すなわち、CFT相関関数の生成関数が、AdS上での古典的超重力作用素に等しいこと。
• 自己相互作用を伴うスカラー行列模型を用い、古典的AdS場理論により3点および4点相関関数を計算し、$N$が非常に大きいCFTの結果と比較すること。
• ウィルソンループの$N$が非常に大きい極限を検討し、時空におけるシングレットが量子ボルツマン統計に従うと提唱すること。

提案手法

• 異常次元を伴い、相関関数に共形不変性の制約を課えた$d$次元ユークリッド空間上での共形スカラー場理論を定式化する。
• $d+1$次元の反de Sitter空間上でのスカラー場の古典的作用を導入し、自己相互作用$ \frac{2d}{d-2} $を含む。非線形ラプラス方程式を摂動論的展開により解く。
• 境界条件$ \tilde{\rho}|_{\text{boundary}} = \rho_0 $を満たすスカラー場$ \nabla^2 \tilde{\rho} = \tilde{\rho}^{n-1} $のディリクレ問題を、グリーン関数展開を用いて解く。
• 生成関数$ Z[\rho_0] = e^{-I[\tilde{ρ}]} $を導出する。ここで$ I[\tilde{ρ}] $は境界値が固定された解上で評価された古典的作用である。
• グリーン関数の積分方程式を摂動展開し、$ \rho_0 $の3次および4次までの項まで作用を計算し、3点および4点関数の明示的表現を得る。
• ウィルソンループの$N$が非常に大きい極限が、量子交換関係$ a_i a_j^\top = \rho_{ij} $を満たすボルツマン的フォック空間上の経路順序指数関数として記述可能であると提唱する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$-ブレーン背景における$N$が非常に大きい共形場理論の$N \to \infty$極限は、対応する幾何における超重力で記述可能か。MaldacenaのAdS/CFT双対性を一般化できるか。
• RQ2 自己相互作用を伴うスカラー場の古典的AdS作用素から得た3点および4点相関関数は、境界CFTの$N$が非常に大きい極限から得られたものと一致するか。
• RQ3 CFT相関関数の生成関数は、Gubser, Klebanov, PolyakovおよびWittenが予想したように、AdS上での古典的超重力作用素に等しいか。
• RQ4 時空における複合場の基本的構成要素であるシングレット—時空場の基本的構成素—は、$N$が非常に大きい極限において量子ボルツマン統計に従うか。
• RQ5 $N$が非常に大きい極限におけるウィルソンループは、マスター場および量子ボルツマン統計とどのように関係するか。

主な発見

• 自己相互作用を伴うスカラー場の古典的AdS作用素から得た3点および4点相関関数は、境界共形場理論の$N$が非常に大きい極限で予想される構造と一致する。
• 境界CFTにおける相関関数の生成関数が、境界値が固定されたディリクレ問題の解上で評価された古典的超重力作用素によって与えられることを示した。
• 作用の摂動的計算により、2次項が境界データのみに依存し、高次項が体積積分を含むことが判明。これはAdS/CFT辞書に整合的である。
• $N$が非常に大きい極限におけるウィルソンループは、ボルツマン的フォック空間上の経路順序指数関数として表現可能であり、マスター場が量子ボルツマン交換関係を満たす可能性を示唆する。
• このモデルは、FlatoおよびFronsdalの枠組みとマスター場構成に基づき、時空場の基本的構成素であるシングレットが量子ボルツマン統計に従うと提唱する。
• このモデルは、Maldacenaの予想を$p$-ブレーン背景へ拡張することを支持し、対応する幾何における超重力が境界CFTの$N$が非常に大きい極限を記述すると示唆する。