[論文レビュー] On large subsets of $F_q^n$ with no three-term arithmetic progression

Jordan S. Ellenberg, Dion Gijswijt|arXiv (Cornell University)|May 30, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、Croot、Lev、Pachによって開発された多項式法を応用し、$ℚ_q^n$ における3項等差数列を含まない部分集合の最大サイズが、$c < q$ であるような $c^n$ で有界であることを証明した。これにより、加法的組合せ論における長年の未解決問題が解決された。$q=3$ の場合、$o(2.756^n)$ の指数的上限が得られ、従来の結果を著しく改善し、$2.756^n$ よりも大きな指数的成長については、キャップ問題が否定的に解決された。

ABSTRACT

In this note, we show that the method of Croot, Lev, and Pach can be used to bound the size of a subset of $F_q^n$ with no three terms in arithmetic progression by $c^n$ with $c &lt; q$. For $q=3$, the problem of finding the largest subset with no three terms in arithmetic progression is called the `cap problem'. Previously the best known upper bound for the cap problem, due to Bateman and Katz, was $O(3^n / n^{1+ε})$.

研究の動機と目的

• 3次元の$ℚ_3^n$ におけるキャップ問題を、3項等差数列を含まない部分集合のサイズに対する上界を確立することで解決すること。
• Croot-Lev-Pachの多項式法を、$q$ が奇数である一般の有限体 $ℚ_q^n$ に拡張すること。
• $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$ における $r_3$ の $n$ 乗根が $n \to \infty$ のとき $p$ から離れていることを証明し、$p^n$ に近い指数的成長が存在しないことを示すこと。
• 特に、BatemanとKatzによる $O(3^n/n^{1+\epsilon})$ の境界を超えて、$ℚ_3^n$ におけるキャップ集合の上界と下界の差を埋めること。

提案手法

• 各変数の次数が $\leq q-1$ であるような、次数が最大 $d$ の多項式の空間 $S_n^d$ を定義することで、Croot-Lev-Pachの多項式法を $ℚ_q^n$ に適応する。
• Croot、Lev、Pachの主要補題の一般化版を用い、$a,b \in A$ が異なるとき $P(\alpha a + \beta b) = 0$ であるという条件下で、次数 $\leq d$ の多項式 $P$ が非ゼロとなる点の数を評価する。
• 行列 $B_{ab} = P(\alpha a + \beta b)$ のランクを評価する。この行列のランクは $2m_{d/2}$ 未満であることが示され、ここで $m_{d/2}$ は次数 $d/2$ の単項式の空間の次元を表す。
• $-\gamma A$ の補集合上で消える多項式 $P$ を構成し、命題2のサポートバウンドを用いて、$|A| \leq 2m_{d/2} + (q^n - m_d)$ の不等式を導出する。
• $d = 2(q-1)n/3$ と設定することでバウンドを最適化し、$|A| \leq 3m_{(q-1)n/3}$ を得る。さらに、大偏差理論を用いて $m_{(q-1)n/3}/q^n$ が指数的に減少することを示す。
• Cramérの定理を適用し、率関数 $I((q-1)/3)$ を計算することで、$m_{(q-1)n/3} = O(c^n)$ かつ $c < q$ であることを証明し、最終的な指数的バウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Croot-Lev-Pachの多項式法は、$\mathbb{F}_4^n$ から $q$ が奇数である一般の $\mathbb{F}_q^n$ に拡張可能か？
• RQ2 $ℚ_3^n$ における最大キャップ集合のサイズは、ある $c < 3$ に対して $c^n$ で有界か？
• RQ3 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$ における $r_3$ の $n$ 乗根は、$n$ が大きくなるにつれて $p$ から離れているか？ これにより、$p^n$ に近い指数的成長は存在しない。
• RQ4 BatemanとKatzによる $O(3^n/n^{1+\epsilon})$ の結果を超えて、キャップ集合の上界を改善可能か？
• RQ5 3項等差数列を含まない部分集合 $A \subset \mathbb{F}_3^n$ に対して、$|A| = O(c^n)$ を満たす最良の指数的基数 $c$ は何か？

主な発見

• 本論文は、任意の奇数の素数べき $q$ に対して、$ℚ_q^n$ における3項等差数列を含まない部分集合の最大サイズが、ある $c < q$ に対して $O(c^n)$ であることを証明した。これにより、$q^n$ に近い指数的成長の可能性は否定的に解決された。
• 特に $q = 3$ の場合、$|A| = o(2.756^n)$ という定量的バウンドが得られ、従来の最良の上界 $O(3^n/n^{1+\epsilon})$ よりも著しく改善された。
• 本手法により、$m_{(q-1)n/3}/q^n$ が指数的に減少することが示され、その減少率は大偏差理論における率関数 $I((q-1)/3)$ によって決定される。
• 核心的な不等式 $|A| \leq 3m_{(q-1)n/3}$ は、多項式のランク評価とサポート数の数え上げによって導出され、指数的バウンドの根幹をなす。
• この結果により、$n \to \infty$ のとき $r_3((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n)^{1/n}$ が $p$ から離れていることが示され、サイズが $\sim p^n$ のキャップ集合は存在しないことが示された。
• 特に $q=3$ の場合、$e^\theta = (\sqrt{33} - 1)/8$ を用いて、最適化問題の解を用いて $c < 2.756$ であることを明示的に計算した。