[論文レビュー] On lattice models of gapped phases with fusion category symmetries

Kansei Inamura|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2021

Topological Materials and Phenomena被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限次元の半単純ホイッフ代数 H に基づく H-単純な左 H-余代数的代数を用いた状態和 TQFT を用いて、非異常な融合カテゴリ対称性を持つ 1+1次元のギャップのある相のための位相的量子場理論（TQFT）および可換射投影ハミルトニアンを構成する。主な結果は、境界条件における融合カテゴリ対称性の作用が、融合カテゴリ上のモジュールカテゴリを通じて実現されることであり、ギャップのある相の格子実現を可能にし、SPT相におけるエッジモードの研究を可能にする。

ABSTRACT

We construct topological quantum field theories (TQFTs) and commuting projector Hamiltonians for any 1+1d gapped phases with non-anomalous fusion category symmetries, i.e. finite symmetries that admit SPT phases. The construction is based on two-dimensional state sum TQFT whose input datum is an $H$-simple left $H$-comodule algebra, where $H$ is a finite dimensional semisimple Hopf algebra. We show that the actions of fusion category symmetries $\mathcal{C}$ on the boundary conditions of these state sum TQFTs are represented by module categories over $\mathcal{C}$. This agrees with the classification of gapped phases with symmetry $\mathcal{C}$. We also find that the commuting projector Hamiltonians for these state sum TQFTs have fusion category symmetries at the level of the lattice models and hence provide lattice realizations of gapped phases with fusion category symmetries. As an application, we discuss the edge modes of SPT phases based on these commuting projector Hamiltonians. Finally, we mention that we can extend the construction of topological field theories to the case of anomalous fusion category symmetries by replacing a semisimple Hopf algebra with a semisimple pseudo-unitary connected weak Hopf algebra.

研究の動機と目的

• 非異常な融合カテゴリ対称性を持つ 1+1次元のギャップのある相のための、位相的量子場理論（TQFT）および可換射投影ハミルトニアンの体系的構成を提供すること。
• 既存の文献におけるこのような相の格子モデルに関する空白を埋めるために、融合カテゴリ対称性を持つギャップのある相の格子実現を確立すること。
• 境界条件における融合カテゴリ対称性の作用が、融合カテゴリ上のモジュールカテゴリによって表現されることを示し、このような対称性を持つギャップのある相の分類と整合すること。
• 構築された可換射投影ハミルトニアンを用いて、SPT相のエッジモードを分析すること。
• 半単純ホイッフ代数の代わりに、半単純擬ユニタリ連結弱ホイッフ代数を用いることで、異常な融合カテゴリ対称性への構成の拡張を図ること。

提案手法

• 構成は、有限次元の半単純ホイッフ代数 H である H-単純な左 H-余代数的代数を入力とする状態和 TQFT を用いる。
• 本稿では、テンソル関手 F: C → C′ を通じた TQFT の引き戻し手続きを導入し、群の準同型による SPT 相の引き戻しを一般化する。
• 状態和 TQFT の境界条件が、融合カテゴリ C に関するモジュールカテゴリ構造を有することを示し、対称性の作用を明示的に実現する。
• 可換射投影ハミルトニアンは、状態和 TQFT から導出され、格子レベルで融合カテゴリ対称性を継承する。
• 半単純ホイッフ代数の代わりに半単純擬ユニタリ連結弱ホイッフ代数を用いることで、異常な対称性へのフレームワークの拡張がなされる。
• TQFT 間のインターフェースおよび接合部は、双モジュールおよび関連する線形写像を用いてモデル化され、欠陥構成のためのベクトル空間および線形写像の明示的割り当てがなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非異常な融合カテゴリ対称性を持つ 1+1次元のギャップのある相のための、TQFT および可換射投影ハミルトニアンを体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 TQFT フレームワークにおいて、境界条件における融合カテゴリ対称性の作用は、数学的にどのように表現されるか？
• RQ3 状態和 TQFT の構成は、融合カテゴリ対称性を持つ異なる TQFT 間のインターフェースおよび接合部を含めるように一般化可能か？
• RQ4 モジュールカテゴリは、融合カテゴリ対称性を持つ TQFT の境界条件を分類する上で果たす役割は何か？
• RQ5 弱ホイッフ代数を用いて、異常な融合カテゴリ対称性への構成をどのように拡張できるか？

主な発見

• 状態和 TQFT の境界条件における融合カテゴリ対称性の作用が、融合カテゴリ上のモジュールカテゴリを通じて実現されることを確認し、このような対称性を持つギャップのある相の分類と整合する。
• 状態和 TQFT から導出された可換射投影ハミルトニアンは、格子レベルで融合カテゴリ対称性を示し、ギャップのある相の明示的な格子実現を提供する。
• 構築されたハミルトニアンを用いて、融合カテゴリ対称性を持つ SPT 相のエッジモードを分析し、そのトポロジカル性を明らかにする。
• テンソル関手による引き戻し構成により、ベースとなる TQFT から任意の非異常な融合カテゴリ対称性を持つ TQFT を体系的に生成可能である。
• 半単純ホイッフ代数の代わりに半単純擬ユニタリ連結弱ホイッフ代数を用いることで、非異常な場合に限らない構成への拡張がなされ、非異常な場合を超えた構成が可能になる。
• 欠陥構成にベクトル空間および線形写像を割り当てることで、状態和 TQFT におけるインターフェースおよび接合部の包含が達成され、双モジュールおよびモジュール写像がトポロジカルデータを符号化する。