[論文レビュー] On Lepowsky-Wilson's Z-algebra

Yuji Hara, M. Jimbo+3 more|ArXiv.org|May 22, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Lepowsky-Wilsonの${\mathcal{Z}}$-代数が変形Virasoro代数の極限として現れることを確立し、任意のレベル$k \neq -2$において主重み付きの${\widehat{\mathfrak{sl}}}_2$の自由場実現を可能にする。この構成には3つのボソン場、頂点演算子、スクリーニングカレントが用いられ、相互作用演算子およびトレースの明示的公式が、楕円Knizhnik-Zamolodchikov方程式を満たす。

ABSTRACT

We show that the deformed Virasoro algebra specializes in a certain limit to Lepowsky-Wilson's Z-algebra. This leads to a free field realization of the affine Lie algebra \hat{sl_2} which respects the principal gradation. We discuss some features of this bosonization including the screening current and vertex operators.

研究の動機と目的

• 任意のレベル$k$において、主重み付きの${\widehat{\mathfrak{sl}}}_2$の自由場実現が存在しないという問題を解決すること。
• 変形Virasoro代数とLepowsky-Wilsonの${\mathcal{Z}}$-代数との間の関係を、ある極限手続きによって確立すること。
• 3つのボソン場、頂点演算子、スクリーニングカレントを用いて、${\widehat{\mathfrak{sl}}}_2$の自由場実現を構成すること。
• ホモジニアスヘイゼンベルク部分代数に基づくWakimoto構成とは対照的に、主ヘイゼンベルク部分代数と整合するボソン化フレームワークを提供すること。

提案手法

• ${\mathcal{Z}}$-代数は、ある極限において変形Virasoro代数の特殊化として導出され、これにより${\widehat{\mathfrak{sl}}}_2$のアフィンリー代数と関連づけられる。
• 特定の交換関係と正規順序指数関数を備えた3つのボソン場$\phi_0(\zeta)$、$\phi_1(\zeta)$、$\phi_2(\zeta)$が導入され、電流の実現に用いられる。
• 頂点演算子$\Phi_{\pm}(\zeta)$は、ボソン場の正規順序指数関数として定義され、${\widehat{\mathfrak{sl}}}_2$と必要な相互作用性質を満たす。
• スクリーニングカレント$\eta(\zeta)$は、正規順序指数関数として構成され、$\beta(\zeta)$と可換であり、$x(\zeta)$に対して特定の符号反転を引き起こす。
• 演算子$B$と組み合わせた頂点演算子のトレースは、$\eta_0$とスクリーニング演算子$Q^m$を用いて計算され、$q$-Pochhammer記号およびワイエルシュトラスの楕円関数を用いた表現が得られる。
• 得られたトレース関数は、楕円古典的$r$-行列を伴う楕円Knizhnik-Zamolodchikov方程式を満たし、Etingofの枠組みと整合することが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\mathcal{Z}}$-代数はどのように変形Virasoro代数の極限として導出可能か？
• RQ2 任意のレベル$k$において、主重み付きの${\widehat{\mathfrak{sl}}}_2$の自由場実現を構成可能か？
• RQ3 スクリーニングカレント$\eta_0$は、ヴェルマモジュール上の自己同型$B$を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 頂点演算子およびその行列要素は、楕円Knizhnik-Zamolodchikov方程式とどのように関係するか？
• RQ5 $(j,k) = (1/2,-3)$および$(1,-4)$のような特別な場合において、トレース関数の明示的公式は何か？

主な発見

• ${\mathcal{Z}}$-代数が変形Virasoro代数の極限特殊化として現れることを示し、Lepowsky-Wilsonの構成への新たな代数的道筋を提供する。
• 特定の交換関係を備えた3つのボソン場を用いて、主重み付きの${\widehat{\mathfrak{sl}}}_2$の自由場実現が構成され、その整合性が保証される。
• 頂点演算子$\Phi_{\pm}(\zeta)$は、正規順序指数関数として明示的に定義され、${\widehat{\mathfrak{sl}}}_2$と必要な相互作用性質を満たす。
• スクリーニングカレント$\eta(\zeta)$は、$\zeta^{k+2\over 2}:e^{{\phi_1(\zeta)\over 2}+{\phi_2(\zeta)\over 2}}:$として構成され、$\beta(\zeta)$と可換であり、$x(\zeta)$の符号を反転させる。
• $(j,k) = (1/2,-3)$の場合、積分を用いずに$\mathrm{tr}_{{\mathcal{F}}_{1/2,-3}}(\Phi_{\pm}(\zeta_1)\eta_0 q^{-\rho}) = q^{5/8}(q^2;q^2)_\infty^{-3/2}$が導出される。
• $(j,k) = (1,-4)$の場合、2点トレースは$q^{1/4}(q^2;q^2)_\infty^{-9/4}\zeta^{1/4}\Theta_{q^2}(\zeta^2)^{-1/4}\Theta_{q^2}(-\varepsilon_1\varepsilon_2 q\zeta)$として表現され、ワイエルシュトラスの楕円関数と関連づけられる。