[論文レビュー] On Lie Algebras in the Category of Yetter-Drinfeld Modules

Bodo Pareigis|ArXiv.org|Dec 17, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、双射的反対元を持つホップ代数 $K$ のヤッター＝ドリフィンモジュールのbraided monoidal圏において、リー代数の一般化された概念を導入する。この圏におけるホップ代数の原始的元が、このような一般化リー代数をなすことを確立し、同様の圏におけるホップ代数である普遍包あくり代数を構成する。これは、古典的リー理論をbraided設定に一般化するものである。

ABSTRACT

The category of Yetter-Drinfeld modules over a Hopf algebra (with bijektive antipode over a field) is a braided monoidal category. Given a Hopf algebra in this category then the primitive elements of this Hopf algebra do not form an ordinary Lie algebra anymore. We introduce the notion of a (generalized) Lie algebra in the category of Yetter-Drinfeld modules such that the set of primitive elements of a Hopf algebra is a Lie algebra in this sense. It has n-ary partially defined Lie multiplications on certain symmetric submodules of n- fold tensor products. They satisfy antisymmetry and Jacobi identities. Also the Yetter-Drinfeld module of derivations of an associative algebra in the category of Yetter- Drinfeld modules is a Lie algebra. Furthermore for each Lie algebra in the category of Yetter-Drinfeld modules there is a universal enveloping algebra which turns out to be a (braided) Hopf algebra in this category.

研究の動機と目的

• 古典的リー代数の概念を、特に反対元が双射であるホップ代数 $K$ のヤッター＝ドリフィンモジュールの圏であるbraided monoidal圏へ一般化すること。
• braided圏における原始的元が通常のリー代数をなさないという問題を、braidingと整合する一般化リー代数構造を導入することで解決すること。
• この圏における各一般化リー代数に対して、普遍包あくり代数を構成し、それが同じ圏におけるホップ代数構造を有することを示すこと。
• 既知の構造、例えばリー超代数、リー色代数、$(G,\chi)$-リー代数を、一つの枠組み内で統一的かつ一般化的に扱うこと。

提案手法

• 各 $n$ およびすべての $n$ 次単位根に対して $n$ 重括弧を定義する、圏 ${\cal Y}{\cal D}^{K}_{K}$ 内の一般化リー代数構造を導入する。
• 圏内のbraidingを反映した一般化された対称性およびジャコビ恒等式を課し、標準的な反対称性およびジャコビ恒等式に代わる。
• バーンド群作用およびbraiding同型を用いて、リー代数のテンソル冪上の $n$ 重括弧の整合性を定義および検証する。
• 特に有限生成モジュールに対する函手 ${\mathop{\mathrm{Hom}}}_{A}(P, -)$ を用いた、ホモモジュール空間へのコモジュール構造の構成に、コモジュール論的技法を適用する。
• テンソル冪上のバーンド群表現を用いて反復括弧演算を定義し、braiding関係を用いてそのwell-defined性を検証する。
• 普遍包あくり代数を、${\cal Y}{\cal D}^{K}_{K}$ 内のテンソル代数の商として構成し、braided圏と整合するホップ代数構造を備える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的リー代数構造が、${\cal Y}{\cal D}^{K}_{K}$ のようなbraided monoidal圏へ一般化可能か。
• RQ2 braided圏における一般化リー代数が、普遍包あくり代数の存在を保証するために満たすべき条件は何か。
• RQ3 braidingおよびヤッター＝ドリフィンモジュール構造は、括弧演算の対称性およびジャコビ恒等式にどのように影響を与えるか。
• RQ4 ${\cal Y}{\cal D}^{K}_{K}$ 内の一般化リー代数の普遍包あくり代数は、自然に同じ圏におけるホップ代数か。
• RQ5 既知の構造、例えばリー超代数や $(G,\chi)$-リー代数は、この一般化枠組みの特別な場合として回復可能か。

主な発見

• 任意のホップ代数 $H$ の原始的元の集合 $P(H)$ は、新しい定義のもとで、${\cal Y}{\cal D}^{K}_{K}$ 圏において一般化リー代数をなす。
• ${\cal Y}{\cal D}^{K}_{K}$ 内の一般化リー代数の普遍包あくり代数は、同じ圏におけるホップ代数である。
• 普遍包あくり代数の構成には、braided $n$ 重括弧から導かれる関係による商をとる手法を用い、braidingと整合性を持つように保証する。
• $n$ 重括弧演算は、バーンド群作用によってwell-definedであり、一般化されたジャコビ恒等式を満たす。
• 一般化リー代数構造は、リー超代数、リー色代数、$(G,\chi)$-リー代数といった古典的ケースを統一的かつ拡張的に扱う。
• 反復括弧のwell-defined性の証明は、バーンド群表現および $\zeta$ を $n$ 次単位根として $\tau_i^2 = \zeta^2$ を満たす性質に依存し、braided設定における整合性を保証する。