[論文レビュー] On lifting of biadjoints and lax algebras

Fernando Lucatelli Nunes|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、擬単体的ファンクターの2-categoryにおけるlax代数への持ち上げに関する一般条件を確立し、双随伴三角形定理をlax設定に拡張する。右双随伴な擬ファンクターが2-categoryに持ち上がることを示し、その場合、ドメインに十分な重み付きバイコロイド（特にlaxコデセント対象）が存在する限り、持ち上げ後も右双随伴のままである。これにより、2-モノイド的および2次元的普遍代数における新しい整合性定理が得られる。

ABSTRACT

By the biadjoint triangle theorem, given a pseudomonad $\mathcal{T} $ on a $2$-category $\mathfrak{B} $, if a right biadjoint $\mathfrak{A} o\mathfrak{B} $ has a lifting to the pseudoalgebras $\mathfrak{A} o\mathsf{Ps} extrm{-}\mathcal{T} extrm{-}\mathsf{Alg} $ then this lifting is also right biadjoint provided that $\mathfrak{A} $ has codescent objects. In this paper, we give general results on lifting of biadjoints. As a consequence, we get a extit{biadjoint triangle theorem} which, in particular, allows us to study triangles involving the $2$-category of lax algebras, proving analogues of the result described above. More precisely, we prove that, denoting by $\ell :\mathsf{Lax} extrm{-}\mathcal{T} extrm{-}\mathsf{Alg} o\mathsf{Lax} extrm{-}\mathcal{T} extrm{-}\mathsf{Alg}_\ell $ the inclusion, if $R: \mathfrak{A} o\mathfrak{B} $ is right biadjoint and has a lifting $J: \mathfrak{A} o \mathsf{Lax} extrm{-}\mathcal{T} extrm{-}\mathsf{Alg} $, then $\ell\circ J$ is right biadjoint as well provided that $\mathfrak{A} $ has some needed weighted bicolimits. In order to prove such theorem, we study the descent objects and the lax descent objects. At the last section, we study direct consequences of our theorems in the context of the $2$-monadic approach to coherence. In particular, we give the construction of the left $2$-adjoint to the inclusion of the strict algebras into the lax algebras.

研究の動機と目的

• lax代数の文脈に一般化された双随伴三角形定理を導出し、前記の擬代数に関する結果を拡張する。
• 右双随伴な擬ファンクターが2-categoryのlax代数の2-categoryへ持ち上がることを保証する十分条件を確立する。
• 特に2-モノイド的整合性の文脈において、代数の2-categoryへの包含関手に対する左双随伴を構成するための枠組みを提供する。
• 重み付きバイコロイド（特にlaxコデセントおよびコデセント対象）が双随伴の持ち上げに果たす役割を研究する。
• 2-モノイドおよび擬単体的ファンクターの一般整合性定理を導くために、結果を応用する。特に、高次元圏論における厳密および柔軟な置換を含む。

提案手法

• 擬自然変換と重み付きバイコロイドを用いて、双随伴三角形定理をlax代数へ一般化する。
• 双随伴の持ち上げに核心的な役割を果たすlaxコデセント対象およびコデセント対象を導入し、分析する。
• 非厳密な代数的構造を扱うために、擬単体的ファンクターの形式的理論および2次元的普遍代数を適用する。
• 擬自然同値および整合性データを用いて、双随伴の持ち上げ条件を定義・検証する。
• 特に、包含関手（異なる射の型を持つ代数の間の）に対する2-モノイド的整合性への応用を焦点に、結果を適用する。
• 図式的推論および2-圏の極限（例：重み付きバイコロイド）を用いて、持ち上げが双随伴性を保つ条件を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-categoryへの右双随伴な擬ファンクターがlax代数の2-categoryへ持ち上がった後も右双随伴のままであるための条件は何か？
• RQ2 どの種の重み付きバイコロイド（特にどのタイプのコデセント対象）が、このような持ち上げが双随伴性を保つことを保証するか？
• RQ3 双随伴三角形定理はlax代数の文脈にどのように適合され、どのような正確な仮定が必要か？
• RQ4 どのような文脈で、代数の2-category（例えば、厳密、擬、lax）の包含関手が左双随伴を持つのか？また、そのためにベースとなる2-categoryにどのような構造的条件が必要か？
• RQ5 結果は擬単体的ファンクターへどのように拡張され、そのファンクターにどのような条件が、lax代数への包含関手に対する左双随伴の存在を保証するか？

主な発見

• 右双随伴な擬ファンクター R: A → B が、A に十分なlaxコデセント対象が存在する場合、lax T-代数の2-category Lax-T-Alg へ擬ファンクター J: A → Lax-T-Alg として持ち上がり、J は依然として右双随伴のままである。
• J と ℓ の合成 ℓ∘J が右双随伴であるための必要十分条件は、A がlax T-代数に関連する特定の図式のlaxコデセント対象を持つことである。
• T₁-Algs → Lax-T₁-Algℓ の包含関手は、T₁-Algs にlaxコデセント対象が存在する場合、左双随伴を持つ。これは2-モノイドの整合性結果を一般化する。
• 擬単体的ファンクター T に対して、Ps-T-Alg → Lax-T-Alg の包含関手は、Ps-T-Alg にlaxコデセント対象が存在する場合、およびコデセント対象が存在する場合、左双随伴を持つ。
• 擬単体的ファンクター T がlaxコデセント対象を保存する場合、Ps-T-Alg もそれらを引き継ぎ、Lax-T-Alg への包含関手に対する左双随伴の存在を保証する仮定を満たす。
• 結果は、2-代数の2-categoryへの包含関手に対する左双随伴を体系的に構成する方法を提供し、2次元的普遍代数における一般整合性定理の構築を可能にする。