[論文レビュー] On linear combinations of units with bounded coefficients and double-base digit expansions

Daniel Krenn, Jörg Μ. Thuswaldner+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、数体における単位和表現に関するBelcherの基準を一般化し、R-Γ単位和高さを導入することで、方程式 $ u_1 + \cdots + u_I = n $ に非自明な解 $ (u_1,\dots,u_I) \neq (1,\dots,1) $ が存在する場合、環 $ R $ 内の任意の代数的整数が、係数が $ n-1 $ 未満に抑えられた単位の線形結合として表現可能であることを証明する。この結果により、特に $ 2 = \pm p^a q^b \pm p^c q^d $ が成り立つ場合、$ \mathbb{Z}[1/p,1/q] $ のような環における符号付き二重基底展開を効率的に計算可能とし、その計算は多項式時間で実行可能である。

ABSTRACT

Let $\ord$ be the maximal order of a number field. Belcher showed in the 1970s that every algebraic integer in $\ord$ is the sum of pairwise distinct units, if the unit equation $u+v=2$ has a non-trivial solution $u,v\in\ord^*$. We generalize this result and give applications to signed double-base digit expansions.

研究の動機と目的

• 数体におけるBelcherの単位和表現基準を、単位の線形結合における係数を有界にできるように一般化すること。
• 環 $ R $ のすべての元が、有限個の単位によって生成される場合に、係数が $ n-1 $ 未満に抑えられた表現を有する条件を確立すること。
• 一般化された基準を、$ \mathbb{Z}[1/p,1/q] $ の符号付き二重基底展開に適用し、その展開が多項式時間で計算可能であることを保証すること。
• 有界係数単位表現の存在を保証する十分条件を特定すること、特に $ u_1 + \cdots + u_I = n $、$ (u_1,\dots,u_I) \neq (1,\dots,1) $ の非自明な解が存在すること。
• 特定の指数ディオファントス方程式を満たす $ 2 $ の表現が存在する場合に、拡張された符号付き $ p $-$ q $-二重基底展開を構築するためのアルゴリズム的効率保証を提供すること。

提案手法

• 環 $ R $ 内の相異なる単位からなる有限線形結合における最大係数の最小値として、$ R $-$ \Gamma $-単位和高さ $ \omega_{R,\Gamma}(\alpha) $ を導入する。
• $ \omega_\Gamma(R) $ を、すべての $ \alpha \in R $ における $ \omega_{R,\Gamma}(\alpha) $ の上界として定義し、$ u_1 + \cdots + u_I = n $ が $ \Gamma \cap R $ 内に非自明な解を持つ場合に $ \omega_\Gamma(R) \leq n-1 $ であることを証明する。
• 主定理を環 $ R = \mathbb{Z}[1/p,1/q] $ および乗法的群 $ \Gamma = \langle -1, p, q \rangle $ に適用する。ここで $ p $ と $ q $ は互いに素な整数である。
• 非自明な解 $ u_1 + \cdots + u_I = n $ の存在を用いて、単位表現における係数を有界化し、有限かつ有界な表現長を保証する。
• 二重基底展開の構成問題を、$ p $ と $ q $ の累乗を含むディオファントス方程式に還元する。特に $ 2 = \pm p^a q^b \pm p^c q^d $ の場合に注目する。
• このような表現が、係数の和と有界表現に基づく再帰的分解を用いて、高さ $ h(\alpha) $ に関して多項式時間で計算可能であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環 $ R $ が有限個の単位によって生成されるとき、そのすべての元が、係数が $ n-1 $ 未満に抑えられた相異なる単位の線形結合として表現可能となる条件は何か？
• RQ2 このような表現における最小最大係数は何か？ また、その値は単位方程式 $ u_1 + \cdots + u_I = n $ の解とどのように関係するか？
• RQ3 非自明な解 $ u_1 + \cdots + u_I = n $ が存在する場合、$ \mathbb{Z}[1/p,1/q] $ における符号付き二重基底展開が多項式時間で計算可能であるとはどのような状況か？
• RQ4 互いに素な整数の組 $ (p,q) $ で、$ 2 $ が $ p $ と $ q $ の累乗の線形結合として表現可能であり、効率的な二重基底展開を可能にするものはどれか？
• RQ5 符号付き $ p $-$ q $-二重基底展開における非ゼロ桁数を最小化できるか？ そのために有効なアルゴリズム的手法は何か？

主な発見

• 方程式 $ u_1 + \cdots + u_I = n $ が $ \Gamma \cap R $ 内に非自明な解を持つ場合、$ \omega_\Gamma(R) \leq n-1 $ が成り立ち、$ R $ のすべての元が係数が最大 $ n-1 $ である相異なる単位の線形結合として表現可能である。
• $ R = \mathbb{Z}[1/p,1/q] $ および $ \Gamma = \langle -1, p, q \rangle $ の場合、$ 2 = \pm p^a q^b \pm p^c q^d $ が成り立つならば、$ \mathbb{Z}[1/p,1/q] $ のすべての元が多項式時間で計算可能な拡張された符号付き $ p $-$ q $-二重基底展開を持つ。
• 展開規則の適用回数は $ \frac{w^2 - w}{2} $ 未満に抑えられる。ここで $ w $ は $ p $-進展開における係数の絶対値の和であり、多項式時間の複雑性を保証する。
• $ p $ がソフィー・ジェルマン素数で $ q = 2p+1 $ のとき、恒等式 $ 2 = qp^{-1} - p^{-1} $ が成り立ち、符号付き $ p $-$ q $-二重基底展開の効率的計算を保証する。
• この手法はすべての $ p, q > 3 $ に適用可能であり、方程式 $ 2 = \pm p^a q^b \pm p^c q^d $ の解は特定の形、例えば $ 2 = \pm p^{-a} \pm p^{-a} q^b $ のような形を取らねばならず、$ p \mid 2 $ または $ q \mid 2 $ となる場合は除かれる。
• 展開を構築するアルゴリズムは、$ \alpha = n/m $ に対して $ h(\alpha) = \max\{ \log|n|, \log|m|, 1 \} $ に関して多項式時間で実行可能であり、$ \mathbb{Z}[1/p,1/q] $ 内のすべての有理数に対して効率的な計算を保証する。