[論文レビュー] On linear complementary-dual multinegacirculant codes

Adel Alahmadi, Cem Güneri̇+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ t \geq 2 $ の線形補完双対（LCD）マルチネガシクラント符号を、特に2の冪を共指数とする1生成子符号に焦点を当てて特徴づける。中国剰余定理とディクソン多項式による代数的分解を用いて、古典的なヴァルシャモフ＝ギルバート境界を超える相対距離を達成する無限族の存在を証明し、標準的な境界を上回る漸近的良さを示している。

ABSTRACT

Linear codes with complementary-duals (LCD) are linear codes that intersect with their dual trivially. Multinegacirculant codes of index $2$ that are LCD are characterized algebraically and some good codes are found in this family. Exact enumeration is performed for indices 2 and 3, and for all indices $t$ for a special case of the co-index by using their concatenated structure. Asymptotic existence results are derived for the special class of such codes that are one-generator and have co-index a power of two by means of Dickson polynomials. This shows that there are infinite families of LCD multinegacirculant codes with relative distance satisfying a modified Varshamov-Gilbert bound.

研究の動機と目的

• 線形補完双対（LCD）マルチネガシクラント符号を代数的に特徴づけること、特に $ t = 2 $ および $ t = 3 $ の場合に焦点を当てる。
• $ t = 2 $ および $ t = 3 $ の場合、および特別な共指数条件の下での一般の $ t $ に対して、LCD符号の正確な数え上げ公式を導出すること。
• 共指数が2の冪である1生成子LCDマルチネガシクラント符号の漸近的存在結果を確立すること。
• このような符号が、修正されたヴァルシャモフ＝ギルバート境界を満たす相対距離を達成することを示し、それらが漸近的に良いことを示すこと。

提案手法

• 環 $ R(m,\mathbb{F}_q) $ 上の双対性とモジュール構造から導かれる条件 $ a_1'a_1'' + \cdots + a_{t-1}'a_{t-1}'' \neq -1 $ を用いた、LCDダブルネガシクラント符号の代数的特徴づけ。
• 中国剰余定理を応用し、$ x^n + 1 $ が2つの原始的多項式に分解できる場合に、環 $ \mathbb{F}_q[x]/\langle x^n + 1 \rangle $ を局所環の積に分解すること。
• 有限体上での対角方程式の解の個数を解析するためのディクソン多項式の使用。これは漸近的数え上げにおいて重要である。
• マルチネガシクラント符号の連結構造を活用し、解集合に関する組合せ的議論により、LCD符号の正確な個数を導出すること。
• 除去されたランダム符号化技法を用いて最小距離の下界を導出し、修正されたヴァルシャモフ＝ギルバート境界に到達すること。
• $ n $ が2の冪で $ q $ が奇数であるとき、$ x^n + 1 $ の $ \mathbb{F}_q $ 上での因数分解を活用し、分解と漸近的解析を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共指数が2の冪である条件下で、$ t = 2 $ および $ t = 3 $ のLCDマルチネガシクラント符号の正確な数え上げ公式を導出できるか？
• RQ2 相対距離が古典的なヴァルシャモフ＝ギルバート境界を超える1生成子LCDマルチネガシクラント符号の無限族が存在するか？
• RQ3 共指数が2の冪であり、$ x^n + 1 $ が $ \mathbb{F}_q $ 上で2つの原始的多項式に分解されるとき、その符号の漸近的性能はいかなるものか？
• RQ4 有限体上での対角方程式の解の個数は、これらの符号の数え上げと最小距離にどのように影響するか？
• RQ5 準ねじれ符号の構造を活用して、距離特性が向上したLCD符号を構築できるか？

主な発見

• $ t = 2 $ の場合、LCDダブルネガシクラント符号の個数は $ q^{n} - \left(q^{n/2} - \eta(-1)\right) $ で与えられ、ここで $ \eta $ は二次特性である。
• $ t \geq 2 $ の場合、共指数が2の冪であるLCDマルチネガシクラント符号の個数は、対角方程式の解の個数を数えることにより、$ q^{n(t-1)} - \left(q^{n(2t-3)/2} - \eta((-1)^{t-1})q^{n(t-2)/2}\right) $ で与えられる。
• $ x^n + 1 $ が $ \mathbb{F}_q $ 上で2つの原始的多項式に分解されるとき、環の分解により正確な数え上げと漸近的解析が可能になる。
• 1生成子LCDマルチネガシクラント符号の漸近的性能は $ H_q(\delta) \geq \frac{t-1}{2t} $ を満たし、これは標準的なヴァルシャモフ＝ギルバート境界を上回ることを示している。
• 相対距離 $ \delta $ が修正された境界を満たすような無限族の符号が存在し、それらが漸近的に良いことを証明している。
• 構成手法により、特に $ t = 2 $ および $ t = 3 $ の場合、中程度の長さにおいて最適または近似最適な最小距離を持つ符号が得られる。