[論文レビュー] On linear evolution equations with cylindrical Lévy noise

Enrico Priola, Jerzy Zabczyk|ArXiv.org|Aug 3, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間 H に値をとる線形確率的発展方程式が、すべての t > 0 に対してほぼ確実にその空間にとどまるための必要十分条件を確立する。解が任意の正の時刻で H に属するならば、その後もほぼ確実にその空間にとどまることを証明し、さらに、Lévy測度にやや弱い仮定を課すことによって、関連するオーナイシュタイン＝ウーレンバック過程の再帰性（irreducibility）を確立する。これは、無限次元における非ガウス型、非ウィーナー型のノイズへの結果の拡張を実現する。

ABSTRACT

We study an infinite-dimensional Ornstein-Uhlenbeck process $(X_t)$ in a given Hilbert space $H$. This is driven by a cylindrical symmetric Lévy process without a Gaussian component and taking values in a Hilbert space $U$ which usually contains $H$. We give if and only if conditions under which $X_t$ takes values in $H$ for some $t>0$ or for all $t>0$. Moreover, we prove irreducibility for $(X_t)$.

研究の動機と目的

• 線形確率的発展方程式に円柱型Lévyノイズを作用させる場合、解がすべての t > 0 に対して状態空間 H にとどまるための条件を同定すること。
• Lévy測度にやや弱い仮定を課した下で、関連するマルコフ過程の再帰性を確立すること。
• 無限次元設定において、ガウス型（ウィーナー型）ノイズから一般の対称的非ガウス型Lévyノイズへの結果の拡張。
• 非ガウス型設定における強いフェラー性および不変測度の研究の基盤を提供すること。

提案手法

• 円柱型Lévyノイズによって駆動される線形SPDEの解の確率的畳み込み表現を用いる。
• Lévy-Khintchineの公式を用いてノイズの特性関数およびそのLévy測度を特徴付ける。
• H 内の正規直交基底を用いたノイズのスペクトル分解と、独立な1次元Lévy過程を用いる。
• 解の成分のLévy測度を分析し、再帰性のための支援条件を検証する。
• ノイズ成分の独立性と全サポート性の議論を用いて、解の分布がHで全サポートを持つことを証明する。
• 無限次元Lévy過程および無限に可除分布の結果を応用し、経路的および確率的性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形SPDEに円柱型Lévyノイズを作用させる場合、解がすべての t > 0 に対してヒルバート空間 H に値をとるための条件は何か？
• RQ2 解過程が再帰的（irreducible）であるとは、任意の正の時刻でH内の任意の開球に到達する確率が正である状態を指すが、どのような条件下で成立するか？
• RQ3 ノイズのLévy測度と、H内での解の経路的滑らかさとの間の明確な関係は何か？
• RQ4 非ガウス型ノイズのもとで強いフェラー性を確立できるか。その主な障壁は何か？
• RQ5 ノイズの構造、特に列 (βₙ) およびLévy過程 (Zₙ) の構造が、H内での解の挙動にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 解 Xₜˣ がある t₀ > 0 でほぼ確実に H に属するならば、すべての t > 0 に対してその空間にほぼ確実にとどまる。
• 解過程 (Xₜˣ) がHで再帰的であるのは、Lévy測度 ν の台に 0 が含まれるときである。
• 各1次元成分 Zₙ が、そのLévy測度の台に 0 を含むならば、再帰性が成立し、解の分布がHで全サポートを持つ。
• ノイズ成分が特定の可積分性およびスペクトル減衰条件を満たす限り、プロセスは適切に定義され、Hに値をとる。
• 結果は、ディリクレ境界条件を満たす確率的熱方程式に円柱型Lévyノイズを作用させる場合にも適用可能である。
• 解のH-正則性について、必要十分条件を提示し、従来のα安定ノイズからの結果を一般の対称Lévyノイズへと一般化した。