[論文レビュー] On linear groups over weakly locally finite division rings

Bui Xuan Hai, Mai Hoang Bien+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2013

Rings, Modules, and Algebras参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の有限生成部分環が中心的有限であるような、局所有限除法環の一般化である弱局所有限除法環を導入する。非可換で代数的である弱局所有限除法環において、$GL_n(D)$ や $SL_n(D)$ の線形群は有限生成でないことが証明され、導来群の中心が torsion であることが示され、中心的有限の場合の既知の結果が一般化される。

ABSTRACT

In this paper, we give the definition of {\em weakly locally finite} division rings and we show that the class of these rings strictly contains the class of locally finite division rings. Further, we study multiplicative subgroups in these rings. Some skew linear groups are also considered. Our new obtained results generalize previous results for centrally finite case.

研究の動機と目的

• 局所有限除法環の一般化である弱局所有限除法環を定義し、特徴づけること。
• このような環上の乗法的部分群および線形群、特に代数的状況での性質を調査すること。
• 中心的有限除法環における線形群に関する既知の結果を、弱局所有限除法環のより広いクラスへ一般化すること。
• ヒルシュタインの予想を弱局所有限除法環の文脈で解明すること。
• $GL_n(D)$ および $SL_n(D)$ の構造的制約を確立し、非可換代数的状況ではこれらが有限生成でないことを示すこと。

提案手法

• 任意の有限生成部分環が中心的有限である環として、弱局所有限除法環を定義する。
• 無限個の平方根を持つ体を用いた、マリチェフ＝ノイマン型のローレンツ級数構成を用いて、非代数的弱局所有限除法環を構成する。
• ガロア群の作用と自己同型を用いて環構造を定義し、弱局所有限性を検証する。
• 有限体上代数的である除法環に関するジャコブソンの定理を適用し、特定の状況での可換性を導出する。
• 導来群 $D'$ の中心と線形群内の torsion 要素との関係を分析する。
• アーベル化と有限生成に関する群論的議論を用いて、有限生成の仮定の下で矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所有限、中心的有限、弱局所有限除法環の間にはどのような関係があるか？
• RQ2 弱局所有限除法環が代数的でないことがあるか。もし可能なら、そのような環を明示的に構成できるか？
• RQ3 弱局所有限除法環 $D$ に対して、$GL_n(D)$ や $SL_n(D)$ が有限生成となる条件は何か？
• RQ4 弱局所有限除法環における導来群 $D'$ の中心は、常に torsion 要素からなるか？
• RQ5 中心的有限除法環における線形群に関する結果が、弱局所有限設定へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 代数的でない弱局所有限除法環が存在することを示し、弱局所有限除法環のクラスが局所有限除法環のクラスを真に含むことを実証した。
• すべての局所有限除法環は弱局所有限であるが、逆は成り立たない。構成例によってそれが示された。
• 非可換で代数的である弱局所有限除法環において、任意の $n \geq 1$ に対して群 $GL_n(D)$ は有限生成でない。
• 弱局所有限除法環における導来群 $D'$ の中心は torsion 群である。
• $GL_n(D)$ が $n \geq 1$ に対して有限生成であるならば、$D$ は可換でなければならない。
• 同じ代数的および弱局所有限の仮定の下で、$GL_n(D)$ の任意の最大有限生成部分群が存在するならば、$D$ は可換でなければならない。