[論文レビュー] On linear hypersingular Boltzmann transport equation and its variational formulation

Jouko Tervo|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Numerical methods in engineering参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、荷電粒子輸送において生じる線形超特異的ボルツマン輸送方程式（BTE）の厳密な変分的定式化を提示する。特に、微分断面積に超特異性を示すモーラー型散乱の状況を想定している。正確なBTEは、第一階微分のエネルギー偏微分とハダマード有限部分積分作用素、第二階微分の角度偏微分を含み、変分的手法によりCSDA-Fokker-Planck型近似作用素が導出され、Lions-Lax-Milgram理論を用いた存在証明が可能になる。

ABSTRACT

For charged particle transport the linear Boltzmann transport equation (BTE) turns out to be a partial hyper-singular integro-differential operator. This is due to the fact that the related differential cross-sections $σ(x,ω',ω,E',E)$ may have hyper-singularities. In these cases the energy integral appearing in the collision terms must be interpreted as the Hadamard finite part integral leading to hyper-singular integral operators. The article considers a refined expression for the exact transport operator and related variational formulations of the inflow initial boundary value problem for one particle equation containing hyper-singularities. We find that the exact BTE contains the first-order partial derivatives with respect to energy combined by partial Hadamard (first-order) singular integral operators. In addition, it contains the second-order partial derivatives with respect to angle and some mixed terms. The analysis will be carried out only for the so called Møller-type interaction (scattering) which is a kind of prototype of hyper-singular interactions. The generalizations to other type of collisions, such as to Bremsstrahlung, go analogously. We also expose a weak form (the variational formulation) of the hyper-singular transport problem. Another variant variational formulation decreases the level of singularities in the integration (appearing in the due bilinear form) containing only singularities of order one that is, singularities like ${1\over{E'-E}}dE' dE$. The variational formulation is an essential step in order to show the existence of generalized solutions e.g. by Lions-Lax-Milgram Theorem based methods (proceedings for solution spaces and existence theory are omitted here). The corresponding approximative transport operator is deduced. It turns out to be a CSDA-Fokker-Planck type operator.

研究の動機と目的

• 微分断面積に超特異性を有する場合における線形ボルツマン輸送作用素の正確な構造を分析すること。
• 近似を施さずに、超特異的BTEの流入初期境界値問題に対する変分的定式化を構築すること。
• 双線形形式における特異性のレベルを低下させ、ガレルキン有限要素法による数値的取り扱いを可能にすること。
• 変分的手法とLions-Lax-Milgram定理を用いて、一般化解の存在に関する理論的基盤を確立すること。
• 数値計算に適したCSDA-Fokker-Planckモデルの構造を再現する近似輸送作用素を導出すること。

提案手法

• 本稿は、微分断面積における超特異性が、エネルギーに関する第一階偏微分とハダマード有限部分積分作用素の組み合わせを引き起こすことを特定する。
• 正確な輸送作用素を、第二階の角度偏微分と混合項を含む偏微分積分方程式として定式化し、衝突積分をハダマード有限部分積分として解釈する。
• 適切なソボレフ-スロボデフスキー空間における試験関数を用いて弱形式（変分的定式化）を導出し、双線形形式における特異性のレベルを1次に低下させる。
• 変分的定式化がLions-Lax-Milgram定理を用いた存在理論に適しており、一般化解の存在証明が可能であることを示す。
• 近似作用素は、主粒子のテイラー展開と角度近似を経て、CSDA-Fokker-Planck型作用素として得られる。
• 解析はモーラー型散乱に限定されるが、類似の手法によりブレムストラール散乱などの他の相互作用へ一般化可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分断面積に超特異性が存在する場合、線形ボルツマン輸送方程式の構造にどのような変化が生じるか？
• RQ2 衝突積分をハダマード有限部分積分として解釈する場合、正確な輸送作用素の明確な形は何か？
• RQ3 特異性の次数を低下させ、存在証明が可能な超特異的BTEに対する変分的定式化を構築できるか？
• RQ4 正確な超特異的作用素から導出された近似輸送作用素の構造は何か？
• RQ5 変分的定式化は、ガレルキン有限要素法のような数値的解法戦略をどのように支援するか？

主な発見

• モーラー散乱の正確な線形BTEは、エネルギーに関する第一階偏微分とハダマール有限部分積分作用素を組み合わせ、擬似微分作用素に類似した項を形成する。
• 輸送作用素は、角度変数に関する第二階偏微分と混合微分項も含み、角度部分はフォッカー・プランク作用素に類似している。
• 変分的定式化により、双線形形式における特異性のレベルが1次に低下し、具体的には $ \frac{1}{E' - E} dE' dE $ の形をとる。これにより、数値的安定性と収束解析が可能になる。
• 導出された近似輸送作用素はCSDA-Fokker-Planck型であり、放射線治療の線量計算で一般的に用いられる近似と一致する。
• 変分的定式化は、Lions-Lax-Milgram定理を用いて、超特異的作用素に対しても一般化解の存在を厳密に証明する数学的道筋を提供する。
• 解析により、流入境界値問題は変動する境界多重度を有することが確認され、適切な定式化が複雑になるが、変分的枠組みがこうした状況に対処する有効な道筋を提供する。