[論文レビュー] On Linear Index Coding for Random Graphs

Ishay Haviv, Michael Langberg|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2011

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有限体 F 上の Erdős–Rényi ランダムグラフ G(n, p) に対する線形インデックス符号の最小長を研究する。局所的にデコード可能で、低密度なインデックス符号という2つの制限付きモデルを導入し、定数 p および固定された体 F に対して、G(n, p) の minrank がほとんど確実に Ω(√n) であることを証明する。さらに、クエリ制約やスパarsity制約の下では、より強い ω(√n) の下界が得られ、低密度符号に対する境界の改善が √n の障壁を破るのに十分であることを示している。

ABSTRACT

A sender wishes to broadcast an n character word x in F^n (for a field F) to n receivers R_1,...,R_n. Every receiver has some side information on x consisting of a subset of the characters of x. The side information of the receivers is represented by a graph G on n vertices in which {i,j} is an edge if R_i knows x_j. In the index coding problem the goal is to encode x using a minimum number of characters in F in a way that enables every R_i to retrieve the ith character x_i using the encoded message and the side information. An index code is linear if the encoding is linear, and in this case the minimum possible length is known to be equal to a graph parameter called minrank (Bar-Yossef et al., FOCS'06). Several bounds on the minimum length of an index code for side information graphs G were shown in the study of index coding. However, the minimum length of an index code for the random graph G(n,p) is far from being understood. In this paper we initiate the study of the typical minimum length of a linear index code for G(n,p) over a field F. First, we prove that for every constant size field F and a constant p, the minimum length of a linear index code for G(n,p) over F is almost surely Omega(\sqrt{n}). Second, we introduce and study the following two restricted models of index coding: 1. A locally decodable index code is an index code in which the receivers are allowed to query at most q characters from the encoded message. 2. A low density index code is a linear index code in which every character of the word x affects at most q characters in the encoded message. Equivalently, it is a linear code whose generator matrix has at most q nonzero entries in each row.

研究の動機と目的

• 固定された有限体 F 上のランダムグラフ G(n, p) に対する典型的な線形インデックス符号の最小長を理解すること。
• 局所的にデコード可能な符号と低密度インデックス符号という2つの制限付きモデルを導入・分析し、G(n, p) の minrank に対するより強い下界を導出すること。
• 低密度インデックス符号に対する下界の改善が、一般の線形インデックス符号に対する √n の境界を打ち破ることに十分であることを示すこと。
• 局所的にデコード可能なインデックス符号におけるクエリ複雑度と符号長の関係を調査すること。

提案手法

• 定数 p および固定された体 F に対して、確率的および極値的組合せ論的手法を用いて、G(n, p) の minrank がほとんど確実に Ω(√n) であることを証明する。
• 受信者が符号化されたメッセージから最大 q ポジションをクエリする局所的にデコード可能なインデックス符号を導入し、q = eΩ(n^{1/3}) の場合に符号長が eΩ(n/q) 以上である下界を導出する。
• 各入力記号が高々 q 個の出力記号に影響する低密度インデックス符号を導入し、行あたり非ゼロ要素が高々 q 個の生成行列に対応する。
• 生成行列の行空間における k-依存集合の 1-交差族の再帰的構成を用いて下界を導出する。
• 可能な生成行列全体にわたる和集合の不等式を適用し、生成行列の線形包に属するある符号語がすべての頂点を満たす確率を推定する。
• 任意の低密度符号に対して ω(√n) の下界が q = ω(1) のもとで得られれば、一般の線形符号に対しても同様の下界が得られることを示す還元を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された有限体 F 上のランダムグラフ G(n, p) に対して、線形インデックス符号の典型的な最小長は何か？
• RQ2 G(n, p) に対して、局所的にデコード可能なインデックス符号は一般の線形符号よりも短い長さを達成できるか？クエリ複雑度はその結果にどのように影響するか？
• RQ3 低密度インデックス符号に対して ω(√n) の下界を確立することが、G(n, p) の一般の minrank 下界を改善するために十分であるか？
• RQ4 q = 2 および q = 3 の場合に、G(n, p) の低密度インデックス符号の長さに対する最もタイトな下界は何か？
• RQ5 低密度制約の下で、G(n, p) の minrank が十分に小さい p に対して、n^{1−ε} または n^{2/3−ε}（ε > 0 が十分小さい）で下から抑えられるか？

主な発見

• 任意の定数 p および固定された有限体 F に対して、G(n, p) の minrank はほとんど確実に Ω(√n) である。これは線形インデックス符号の長さに対する基本的な下界を確立する。
• q = eΩ(n^{1/3}) のクエリを持つ局所的にデコード可能なインデックス符号に対して、最小長はほとんど確実に eΩ(n/q) 以上であり、q = o(√n) の場合に ω(√n) の下界が得られる。
• q = 2 の低密度インデックス符号に対して、任意の ε > 0 および十分に小さい p に対して、最小長はほとんど確実に n^{1−ε} 以上である。
• q = 3 の低密度インデックス符号に対して、任意の ε > 0 および十分に小さい p に対して、最小長はほとんど確実に n^{2/3−ε} 以上である。
• q = ω(1) のもとで低密度インデックス符号に対して ω(√n) の下界が存在するならば、一般の線形インデックス符号に対しても同様の下界が得られることを示しており、このモデルは今後の改善の鍵となる。
• 十分に小さい p および固定された ε > 0 に対して、n が増加するにつれて、(q, ℓ)-低密度インデックス符号が G(n, p) に存在する確率は指数的に 0 に近づく。