[論文レビュー] On linear operators with p-nuclear adjoints

O. I. Reinov|ArXiv.org|Jul 16, 2001

Advanced Banach Space Theory被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、作用素の $p$-核的随伴作用素が $p$-核的であるための条件を確立する。具体的には、$X^*$ または $Y^{***}$ が近似性質を持つならば、$T^* \in N^p(X^*,Y^*)$ であれば $T \in N^p(X,Y)$ が成り立つことを証明する。さらに、各 $r \neq 2$ に対して、$W^{**}$ に基底を持つバナッハ空間 $W$ を構成し、$T: W^{**} \to W$ が $p$-核的随伴作用素であるが $N^r(W^{**},W)$ には属さないような作用素を構成することで、近似条件の必要性を示している。

ABSTRACT

If $p\in [1,+\infty]$ and $T$ is a linear operator with $p$-nuclear adjoint from a Banach space $ X$ to a Banach space $Y$ then if one of the spaces $X^*$ or $Y^{***}$ has the approximation property, then $T$ belongs to the ideal $N^p$ of operators which can be factored through diagonal oparators $l_{p'} o l_1.$ On the other hand, there is a Banach space $W$ such that $W^{**}$ has a basis and such that for each $p\in [1,+\infty], p eq 2,$ there exists an operator $T: W^{**} o W$ with $p$-nuclear adjoint that is not in the ideal $N^p,$ as an operator from $W^{**}$ to $ W.$

研究の動機と目的

• 作用素の随伴作用素が $p$-核的である場合に、その作用素が $p$-核的作用素のイデアル $N^p$ に属するための十分条件を同定すること。
• 対角作用素を通した作用素の因数分解における近似性質の役割を調査すること。
• 近似仮定を追加せずに、随伴作用素の $p$-核的性が作用素自身の $p$-核的性を示さないことを示す反例を構成すること。
• $N^p$-作用素とその随伴作用素の双対性において、近似性質の条件がどのように鋭いかを示すこと。

提案手法

• トレース双対性を介した $N^p(X,Y)$ と空間 $\Pi_{p'}^d(Y,X^{**})$ 間の双対性を利用する。
• $X^*$ または $Y$ が近似性質を持つ場合に、$X^* \widehat{\otimes}^p Y \cong N^p(X,Y)$ となる標準的同型を適用する。
• $z = \sum e_k' \otimes e_k$ を $E^* \widehat{\otimes}^r E$ 内の作用素のテンソル的表現として用い、トレースは非ゼロだが関連する作用素はゼロである例を構成する。
• $z \in E^* \widehat{\otimes}^r E$ を、核が $W$ である商写像 $\varphi: W^{**} \to E$ に対して $\varphi \circ \alpha = z$ を満たす $\alpha \in E^* \widehat{\otimes}^r W^{**}$ に上げる。
• $\alpha \notin N^r(E,W)$ であるなら $\alpha \circ \varphi \notin N^r(W^{**},W)$ であるが、一方で $\alpha \circ \varphi \in N^r(W^{**},W^{**})$ であることを用いて反例を構成する。
• $r \neq 2$ のとき、標準的写像 $E^* \widehat{\otimes}^r E \to N^r(E,E)$ が単射でないような、弱収縮的で分離可能なバナッハ空間 $E$ の存在に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 随伴作用素 $T^*$ が $p$-核的である場合に、$T$ が $p$-核的であるための条件は何か？
• RQ2 $W^{**}$ に基底を持つバナッハ空間 $W$ を構成し、$T: W^{**} \to W$ が $p$-核的随伴作用素であるが $T \notin N^p(W^{**},W)$ であるような例を構成できるか？
• RQ3 $T^* \in N^p(X^*,Y^*) \Rightarrow T \in N^p(X,Y)$ の含意において、$X^*$ または $Y^{***}$ の近似性質は必要か？
• RQ4 非単射な標準的写像 $X^* \widehat{\otimes}^p Y \to N^p(X,Y)$ の文脈において、テンソルノルムとトレース双対性はどのように作用するか？
• RQ5 $W^{***}$ の補完部分空間は、$l_{p'} \to l_1$ を通した因数分解に失敗する作用素を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• $X^*$ または $Y^{***}$ が近似性質を持つならば、$T^* \in N^p(X^*,Y^*)$ であれば $T \in N^p(X,Y)$ であることが示され、$T$ の $p$-核的性の十分条件が確立される。
• $r \in [1,\infty]$, $r \neq 2$ に対して、$W^{**}$ に基底を持つ分離可能なバナッハ空間 $W$ が存在し、作用素 $T: W^{**} \to W$ が $T^* \in N^r(W^{**},W^*)$ であるが $T \notin N^r(W^{**},W)$ であることを示している。これは近似仮定の必要性を示している。
• 反例は、$\operatorname{trace}(U \circ z) = 1$ であるが $\widetilde{z} = 0$ であるようなテンソル $z \in E^* \widehat{\otimes}^r E$ に依拠しており、これは $r \neq 2$ のとき、弱収縮的で分離可能な空間 $E$ 内に存在する。
• 商写像 $\varphi: W^{**} \to E$（核が $W$）と、$\varphi \circ \alpha = z$ を満たす $\alpha \in E^* \widehat{\otimes}^r W^{**}$ を用い、$\alpha \notin N^r(E,W)$ であることを保証する。
• $T = \alpha \circ \varphi$ は $T \in N^r(W^{**},W^{**})$ であるが $T \notin N^r(W^{**},W)$ であることを満たし、近似なしでは含意が成立しないことを証明する。
• 結果として、定理1における近似性質の条件が鋭いことが示され、これらの条件が満たされない場合に反例が存在することがわかった。