[論文レビュー] On linear systems of curves on rational scrolls

Antonio Laface|arXiv (Cornell University)|May 26, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、有理スクリュー（Hirzebruch表面）上における、重複度2および3の基点をもつ線型系統の次元に関する予想を、退化法と双有理変換を用いて証明する。同定された特殊線型系統の分類がなされ、重複度が3以下であるようなすべての線型系統について、仮想次元が実際の次元を予測するが、例外的に(-1)-曲線が存在する場合に限って、有限個の反例が生じることを示している。

ABSTRACT

In this paper we prove a conjecture on the dimension of linear systems, with base points of multiplicity 2 and 3, on an Hirzebruck surface.

研究の動機と目的

• 基点の条件が線型的に依存するため、仮想次元が実際の次元を正しく予測しない特殊線型系統を特徴づけること。
• Hirzebruch表面における重複度≤3のすべての斉次線型系統で特殊なものについて分類すること。
• 特殊線型系統がその基点に(-1)-曲線を含むことと関連する構造的予想を確立すること。
• Hirzebruch表面$\mathbb{F}_n$上での退化法を発展・適用し、複数の基点をもつ線型系統を解析すること。
• $\mathbb{P}^2$上での2次変換を$\mathbb{F}_n$と$\mathbb{F}_{n-1}$間の双有理写像へ一般化し、一貫した解析を可能にする。

提案手法

• Hirzebruch表面$\mathbb{F}_n$を可約な曲面に退化させ、極限線型系列を用いて線型系統を研究する。
• $\mathbb{F}_n$と$\tilde{\mathbb{F}}_n$上での成分に分解する$(3,s)$-退化プロセスを適用し、次元と仮想次元を追跡する。
• 2次変換の一般化として、$\mathbb{F}_n \to \mathbb{F}_{n-1}$への双有理変換を用い、線型系統を単純化する。
• リーマン・ロッホの定理とコhomオロジーの完全系列を適用し、複数点の理想層をねじ込んだ線分束の$h^0$および$h^1$を計算する。
• 仮想次元$v = \dim |L| - \sum r_i \frac{m_i(m_i+1)}{2}$を用い、実際の次元$l$と比較して特殊性を検出する。
• 仮想次元$v < -1$の場合を扱うために、期待次元$e = \max\{v, -1\}$を導入し、次元の境界が一貫するように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hirzebruch表面$\mathbb{F}_n$上の線型系統が非特殊でない、すなわち$l > v$となるのはいつか？
• RQ2 重複度2または3の特殊線型系統の基点の正確な構造は何か？
• RQ3 退化法をどのように用いることで、有理スクリュー上における重複度≤3のすべての斉次特殊線型系統を分類できるか？
• RQ4 $\mathbb{F}_n$と$\mathbb{F}_{n-1}$間のどの双有理写像が、複数の基点をもつ線型系統の幾何を保存または単純化するか？
• RQ5 仮想次元が複数の基点をもつ線型系統の実際の次元を正しく予測しない条件は何か？

主な発見

• Hirzebruch表面における特殊線型系統の構造に関する予想が証明された：このような線型系統は、その基点に(-1)-曲線を含む。
• 重複度$m \leq 3$のすべての斉次特殊線型系統が$\mathbb{F}_n$上で完全に分類され、各$n$に対して有限個である。
• $v \geq 0$の場合、$s = (a + n(b-1) + 1 + \nu)/2$を用いた$(3,s)$-退化により、$\hat{\mathcal{L}}_{\mathbb{F}}$が空または(-1)-特殊で$\hat{v} = -1$となることが保証され、解析が簡素化される。
• すべてのケースにおいて、$l_{\tilde{\mathbb{F}}} + l_{\mathbb{F}}$の和が非特殊の場合に仮想次元$v$に等しくなることが確認され、予測が正当化される。
• (-1)-特殊線型系統は特定の構成に限られる：$\mathcal{L}_{\tilde{\mathbb{F}}} = \mathcal{L}_n(3e,3,3^{2e+n+1})$または$\mathcal{L}_n(3e+1,3,3^{2e+n+1})$であり、次元数え上げによってこれらが処理される。
• 仮想次元$v < 0$の場合、$v = -2$を除き、線型系統は空である。$v = -2$の場合は非空であるという仮定に矛盾するため、このようなケースは除外される。