[論文レビュー] On linearised and elliptic versions of the Kashiwara-Vergne Lie algebra

Furusho, Hidekazu, Komiyama, Nao+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、mould理論的技法を用いて、Kashiwara-Vergne Lie代数 $\mathfrak{krv}$ の線形化版 ($\mathfrak{lkv}$) と楕円版 ($\mathfrak{krv}_{\text{ell}}$) を導入する。写像 $\mathfrak{ds} \hookrightarrow \mathfrak{krv}$ および $\mathfrak{ds}_{\text{ell}} \hookrightarrow \mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ が単射Lie準同型として確立され、$\mathfrak{krv} \hookrightarrow \mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ も証明され、既知の $\mathfrak{grt}$ および $\mathfrak{ds}$ からの写像が拡張され、すべての重みにおいて深さ1〜3で同型が成り立つ。

ABSTRACT

The goal of this article is to define a linearized or depth-graded version $\mathfrak{lkv}$, and a closely related elliptic version $\mathfrak{krv}_{ell}$, of the Kashiwara-Vergne Lie algebra $\mathfrak{krv}$ originally constructed by Alekseev and Torossian as the space of solutions to the linearized Kashiwara-Vergne problem. We show how the elliptic Lie algebra $\mathfrak{krv}_{ell}$ is related to earlier constructions of elliptic versions $\mathfrak{grt}_{ell}$ and $\mathfrak{ds}_{ell}$ of the Grothendieck-Teichmüller Lie algebra $\mathfrak{grt}$ and the double shuffle Lie algebra $\mathfrak{ds}$. In particular we show that there is an injective Lie morphism $\mathfrak{ds}_{ell}\hookrightarrow \mathfrak{krv}_{ell}$, and an injective Lie algebra morphism $\mathfrak{krv} ightarrow \mathfrak{krv}_{ell}$ extending the known morphisms $\mathfrak{grt}\hookrightarrow\mathfrak{grt}_{ell}$ (Enriquez section) and $\mathfrak{ds} ightarrow\mathfrak{ds}_{ell}$ (Écalle map).

研究の動機と目的

• Kashiwara-Vergne Lie代数 $\mathfrak{krv}$ の深さ付き線形化版 $\mathfrak{lkv}$ を、線形化双対シャッフルLie代数 $\mathfrak{ls}$ に類似する形で定義すること。
• 楕円双対シャッフルLie代数 $\mathfrak{ds}_{\text{ell}}$ や楕円Grothendieck-Teichmüller理論にインspiredされた、$\mathfrak{krv}$ の楕円版 $\mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ を構成すること。
• $\mathfrak{ds}_{\text{ell}} \hookrightarrow \mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ および $\mathfrak{krv} \hookrightarrow \mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ という単射Lie代数準同型を確立し、$\mathfrak{grt}$ および $\mathfrak{ds}$ からの既知の写像を拡張すること。
• $\mathfrak{krv}$, $\mathfrak{lkv}$, $\mathfrak{ds}$ の次数付き構造を比較し、すべての重みにおいて深さ1〜3で同型が成り立つことを示すこと。

提案手法

• $\mathfrak{lkv}$ の構成は、自由Lie代数 $\mathfrak{lie}_2$ の微分の深さおよび重みフィルトレーションに基づく、双重次数付き線形化双対シャッフルLie代数 $\mathfrak{ls}$ のモデルに従う。
• $\mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ は、2生成子を持つ $\mathfrak{lie}_2$ の微分の部分空間として定義され、微分のLie括弧に関して閉じている。
• mould理論（J. Écalleが開発）が、Lie代数間の写像を分析・構成する中心的な技術的道具として用いられる。
• 本稿では、差の積 $v_{j-1} - v_j$ および生成関数 $P^n_C$ を含む明示的な組合せ的恒等式を用いて、mould計算における重要な関係を証明する。
• 単射準同型は、特に Écalle のmould理論的写像 $\mathfrak{ds} \to \mathfrak{ds}_{\text{ell}}$ を $\mathfrak{krv} \to \mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ に拡張する明示的公式により構成される。
• $\mathfrak{grt} \to \mathfrak{ds} \to \mathfrak{krv}$ と $\widetilde{\mathfrak{grt}}_{\text{ell}} \to \mathfrak{ds}_{\text{ell}} \to \mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ を結ぶ可換図式が確立され、$\widetilde{\mathfrak{grt}}_{\text{ell}}$ は $\mathfrak{grt}_{\text{ell}}$ の部分代数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kashiwara-Vergne Lie代数 $\mathfrak{krv}$ の深さ付き線形化版 $\mathfrak{lkv}$ を、$\mathfrak{ls}$ に類似する形でどのように定義できるか？
• RQ2 $\mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ の構造は何か？ また、$\mathfrak{grt}_{\text{ell}}$ および $\mathfrak{ds}_{\text{ell}}$ とどのように関係するか？
• RQ3 $\mathfrak{krv} \to \mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ という単射Lie準同型が存在するか？ これは、既知の $\mathfrak{grt}$ および $\mathfrak{ds}$ からの写像を拡張するか？
• RQ4 $\mathfrak{lkv}$ および $gr\,\mathfrak{krv}$ の双次数付き部分は、すべての重みにおいて深さ1〜3で同型であるか？
• RQ5 $\mathfrak{grt}$–$\mathfrak{ds}$–$\mathfrak{krv}$ の鎖とその楕円版を結ぶ可換図式を構成できるか？

主な発見

• $gr\,\mathfrak{krv} \hookrightarrow \mathfrak{lkv}$ という単射Lie準同型が存在し、既知の $gr\,\mathfrak{ds} \to \mathfrak{ls}$ に類似している。
• $\mathfrak{ds} \hookrightarrow \mathfrak{krv}$ の単射写像が、$\mathfrak{ls} \hookrightarrow \mathfrak{lkv}$ に拡張され、単射Lie準同型として成立する。
• $\mathfrak{lkv}$ および $gr\,\mathfrak{krv}$ の深さ1, 2, 3の双次数付き部分は、すべての重み $n$ に対して同型であり、その次元は $\mathfrak{ls}$ のものに依存する。
• $\mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ は、$\mathfrak{lie}_2$ の微分のLie部分代数として適切に定義されており、Lie括弧に関して閉じている。
• $\mathfrak{krv} \hookrightarrow \mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ という単射Lie準同型が構成され、既知の $\mathfrak{grt} \to \mathfrak{grt}_{\text{ell}}$ のセクション写像が拡張されている。
• $\widetilde{\mathfrak{grt}}_{\text{ell}} \subset \mathfrak{grt}_{\text{ell}}$ を用いた可換図式が確立され、楕円的状況における $\mathfrak{grt}$–$\mathfrak{ds}$–$\mathfrak{krv}$ の鎖の整合性が示された。