[論文レビュー] On Lipschitz solutions for some forward-backward parabolic equations

Seonghak Kim, Baisheng Yan|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、偏微分包含に適用したバナッハ・カテゴリー法を用いて、非単調な拡散フラックスを有する前向き後向き放物型方程式に対して、無限に多くのリプシッツ解の存在を確立する。主な貢献は、密度条件を満たす場合にそのような解が存在することの証明であり、これはペロナ＝マリク型およびöllig型のモデルにおいて実現され、微小な振動的挙動を示す。

ABSTRACT

We investigate the existence and properties of Lipschitz solutions for some forward-backward parabolic equations in all dimensions. Our main approach to existence is motivated by reformulating such equations into partial differential inclusions and relies on a Baire's category method. In this way, the existence of infinitely many Lipschitz solutions to certain initial-boundary value problem of those equations is guaranteed under a pivotal density condition. Finally, we study two important cases of forward-backward anisotropic diffusion in which the density condition can be realized and therefore the existence results follow together with micro-oscillatory behavior of solutions. The first case is a generalization of the Perona-Malik model in image processing and the other that of Höllig's model related to the Clausius-Duhem inequality in the second law of thermodynamics.

研究の動機と目的

• 非単調な拡散フラックスを有する前向き後向き放物型方程式に対するリプシッツ解の存在を確立すること。
• 後向き放物型性に起因する初期境界値問題の不適定性を扱うこと。
• 凸統合と密度条件を活用することで、古典的放物型理論を越えた解の存在結果を拡張すること。
• 対称領域において、回転対称解と非回転対称解が共存することを示すこと。
• 物理的に関連するモデル、特に画像処理のためのペロナ＝マリクモデルおよび熱力学的相転移のためのöllig型モデルにおけるアプローチの妥当性を検証すること。

提案手法

• フラックス構造 $ A(p) = f(|p|^2)p $ を用いて、前向き後向き放物型方程式を偏微分包含に再定式化すること。
• バナッハ・カテゴリー法を適用し、残渣的 $ G_\tau $-集合における解の存在を証明することで、バナッハ空間内での稠密な存在を保証すること。
• フラックスプロファイル $ \sigma(s) = s f(s^2) $ における密度条件を用いて、無限に多くのリプシッツ解の存在を保証すること。
• 正則化フラックス $ \tilde{A}(p) = \tilde{f}(|p|^2)p $ を用いて近似解を構成し、$ \tilde{f} \in C^{1+\alpha} $ を満たすことで、古典的可解性を確保すること。
• 空間的スルーリングを、中心軸から離れた時空ボックス内での解 $ u^* $ に対して実行し、回転対称性を破って非回転対称解を生成すること。
• $ L^\infty $-極限における背理法を用いて、非回転対称解が有限個しか存在しないと仮定した場合、非回転対称関数 $ u^*_{nr} $ が回転対称解によって近似可能であるが、これは対称性の破れに反する、ことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期境界値問題が、前向き後向き放物型方程式に対してリプシッツ解を有するための条件は何か？
• RQ2 非単調なPDEの文脈において、バナッハ・カテゴリー法を用いて無限に多くの解の存在を証明できるか？
• RQ3 フラックスプロファイル $ \sigma(s) $ における密度条件は、ペロナ＝マリク型およびöllig型モデルにおいてリプシッツ解の存在を保証するか？
• RQ4 同じ初期境界値問題に対して、球体内で回転対称解と非回転対称解が共存可能か？
• RQ5 このような方程式の解における微小な振動的挙動の役割は何か？

主な発見

• 初期勾配が $ |Du_0(x_0)| \in (s_1^*, s_2^*) $ を満たす場合、定理3.5により初期境界値問題 (1.2) に対して無限に多くのリプシッツ解が存在する。
• 初期データが $ \|Du_0\|_{L^\infty(\Omega)} \leq s_1^* $ を満たす場合、時間 $ \bar{t} $ において $ |Du^*| \in (s_1^*, s_2^*) $ となる時点で、古典的解 $ u^* $ と定理3.5からの新しい解を接合することで、無限に多くのリプシッツ解が構成される。
• 初期データの $ \min_{\bar{\Omega}} |Du_0| \geq s_2^* $ の場合、$ |Du^*| $ が区間 $ (s_1^*, s_2^*) $ に進入するならば、同様の接合手順により無限に多くのリプシッツ解が得られる。
• 球 $ \Omega = B_R(0) $ 上の回転対称初期データ $ u_0 $ に対して、解 $ u^* $ の空間的スルーリングにより回転対称性を破ることで、無限に多くの非回転対称リプシッツ解が存在することが示される。
• 無限に多くの非回転対称解の存在は、それらが有限個である可能性を否定し、$ L^\infty $-極限における位相的議論により、その豊富さが証明される。
• 結果は二つの主要な物理的モデルで実現される：画像ノイズ除去のためのペロナ＝マリクモデルと、熱力学的相転移のためのölligのモデルであり、両者とも必要な密度条件を満たしている。