[論文レビュー] On local geometry of rank 3 distributions with 6-dimensional square

Boris Doubrov, Igor Zelenko|ArXiv.org|Jul 21, 2008

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 3被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、任意次元多様体上のランク3完全非可積分分布で、6次元の導来分布をもつものについて、特徴的曲線（異常極値線）およびシンプレクティック空間内のフラグ曲線の幾何学を用いて、同値問題を解いている。主な貢献は、ヤング図形による正規フレーム構成と分類であり、特にn > 6のとき、対称代数の次元が指数関数的に増加することが明らかになった。

ABSTRACT

We solve the equivalence problem for rank 3 completely nonholonomic vector distributions with 6-dimensional square on a smooth manifold of arbitrary dimension n under very mild genericity conditions. The main idea is to consider the projectivization of the annihilator of a given 3-dimensional distribution. It is naturally foliated by characteristic curves, which are also called the abnormal extremals of the distribution. The dynamics of vertical fibers along characteristic curves defines certain curves of flags of isotropic and coisotropic subspaces in a linear symplectic space. The problem of equivalence of distributions can be essentially reduced to the differential geometry of such curves. The class of all 3-distributions under consideration is split into a finite number of subclasses according to the Young diagram of their flags. The local geometry of distributions can be recovered from the properties of the symmetry group of so-called flat curves of flags associated with this Young diagram. In each subclass we describe the flat distribution and construct a canonical frame for any other distribution. It turns out that for n>6 in the most nontrivial case the symmetry algebra of the flat distribution can be described in terms of rational normal curves (their secants and tangential developables) in projective spaces and its dimension grows exponentially with respect to n.

研究の動機と目的

• 任意次元多様体上のランク3分布で、6次元の導来分布をもつものの同値問題を解くこと。
• 関連する自己同型的／コイソトロープ的フラグ曲線のヤング図形を用いた、このような分布の分類を行うこと。
• 各分布クラスに対して正規フレームを構成し、同値問題を平坦フラグ曲線の幾何に還元すること。
• 平坦モデルの対称代数を、射影空間内の有理正規曲線とその接線の関係を用いて記述すること。
• n > 6のとき、対称代数の次元がnとともに指数関数的に増加することを示し、特に最も非自明な場合に注目すること。

提案手法

• 3次元分布Dの annihilator $ D^ot $ を射影化し、これに自然なファイブレーション（特徴的曲線＝異常極値線）が誘導されることを示す。
• これらの曲線に沿って力学系を線形化し、シンプレクティックベクトル空間内での自己同型的／コイソトロープ的部分空間のフラグ曲線を得る。
• 関連するフラグ曲線のヤング図形に基づいて、分布を分類する。この図形はフラグの型を符号化する。
• 各ヤング図形に対して、対応する平坦フラグ曲線の無限小対称性代数としての対称代数を実現することで、平坦モデルを構成する。
• Tanakaの延長理論を用いて、対称代数の記号と延長を計算し、第一修正延長が自明であることを示す。
• 有理正規曲線の接線多様体に関する結果を応用し、フラグ曲線の定義イデアルを記述し、特に長方形図形の場合に対称代数を明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク3の非可換分布で6次元の平方を持つものについて、やや弱い一般性条件のもとで同値問題をどのように解けるか？
• RQ2 異常極値線（特徴的曲線）は、このような分布の幾何的構造において果たす役割は何か？
• RQ3 関連するフラグ曲線のヤング図形は、これらの分布の局所的幾何をどのように分類するか？
• RQ4 各クラスの平坦モデルの対称代数の構造は何か？ その次元は多様体の次元とともにどのように増加するか？
• RQ5 長方形図形の場合に、有理正規曲線とその接線は、平坦フラグ曲線の無限小対称性をどのように決定するか？

主な発見

• ランク3の分布で6次元の平方を持つものの同値問題は、異常極値線の幾何に基づく正規フレーム構成によって解決された。
• このような分布の分類は、シンプレクティック空間内に位置する関連フラグ曲線のヤング図形によって決定される。
• $ n > 6 $ のとき、平坦モデルの対称代数の次元は $ n $ とともに指数関数的に増加し、特に最も非自明な場合に顕著である。
• 平坦モデルの対称代数は、平坦フラグ曲線の無限小対称性代数として実現され、これは記号代数のTanaka延長と同型である。
• 長方形図形の場合（$ k imes 2 $）、記号 $ rak{s}_{k,0} $ は $ rak{sl}(2,bR) imes rak{gl}(2,bR) $ と同型であり、$ k o bR $ のとき第一修正延長は自明である。
• 有理正規曲線の $ n $-次元接線多様体の定義イデアルは、ハンケル行列の $ (n+2) $-階小行列式によって生成され、これは $ k=2 $ の場合に完全に対称代数を特徴づける。