[論文レビュー] On local perturbations of Shrodinger operator in axis

R. R. Gadyl’shin|ArXiv.org|Feb 11, 2002

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、実数直線上の1次元シュレーディンガー作用素 $ H_0 = -d^2/dx^2 $ に対する小さな局所的摂動の下で固有値が出現するための必要十分条件を確立する。複素周波数パラメータ $ k $ を用い、スペクトルパラメータ $ \lambda = -k^2 $ と関連付ける。主な結果は、固有値が出現するのは、摂動によって誘発されるリゾルベントの極が右半平面 $ \mathrm{Re}\,k > 0 $ に移動する場合に限ることであり、摂動作用素を用いて固有値および固有関数の明示的漸近式が導出される。

ABSTRACT

We adduce the necessary and sufficient condition for arising of eigenvalues of Shrodinger operator in axis under small local perturbations. In the case of eigenvalues arising we construct their asymptotics.

研究の動機と目的

• 実数直線上のシュレーディンガー作用素 $ H_0 = -d^2/dx^2 $ に対する小さな局所的摂動が離散固有値を生成する正確な条件を特定すること。
• スペクトルパラメータ $ \lambda = -k^2 $ と関連する複素周波数パラメータ $ k $ を用いた、摂動作用素のスペクトル挙動を分析する新しい解析的枠組みを構築すること。
• 小さな摂動の極限における固有値および関連固有関数の明示的漸近展開を導出すること。
• 従来、実数値のポテンシャルにしか成立しなかった結果を、複素数値の摂動へ一般化し、平均がゼロのポテンシャルに対しても固有値が出現する非直感的な挙動を明らかにすること。

提案手法

• スペクトルパラメータ $ \lambda = -k^2 $ と関連する複素周波数パラメータ $ k $ を導入し、解を複素平面全体に解析接続可能にする。
• リゾルベント作用素 $ A(k)g = -\frac{1}{2k}\int e^{-k|x-t|}g(t)dt $ を定義し、これは $ L_2(\mathbb{R};Q) $ から $ W^{2}_{2,loc}(\mathbb{R}) $ への写像である。
• 摂動構造を符号化する作用素 $ T_\varepsilon^{(0)}(k) = \mathcal{L}_\varepsilon[A(k)g] + \frac{\langle g\rangle}{2k}\mathcal{L}_\varepsilon[1] $ を構築する。
• 作用素 $ S_\varepsilon(k) = (I + \varepsilon T_\varepsilon^{(0)}(k))^{-1} $ を定義し、$ \varepsilon $ が十分に小さいとき $ k $ に関して正則である。この作用素を用いて、固有値条件 $ k - \frac{\varepsilon}{2}\langle S_\varepsilon(k)\mathcal{L}_\varepsilon[1]\rangle = 0 $ を導出する。
• この方程式の解 $ k_\varepsilon $ の位置を分析する：$ \mathrm{Re}\,k_\varepsilon > 0 $ であれば、固有値 $ \lambda_\varepsilon = -k_\varepsilon^2 $ が存在する。
• 固有関数を $ \phi_\varepsilon = A(k_\varepsilon)S_\varepsilon(k_\varepsilon)\mathcal{L}_\varepsilon[1] $ と表現し、摂動およびリゾルベント構造と直接関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数直線上のシュレーディンガー作用素 $ H_0 = -d^2/dx^2 $ に対する小さな局所的摂動が、いつ離散固有値を生成するか。
• RQ2 スペクトルパラメータ $ \lambda = -k^2 $ と関連する複素周波数パラメータ $ k $ は、正則摂動の下での固有値出現をどのように深く理解可能にするか。
• RQ3 平均がゼロのポテンシャルに対しても固有値が出現する理由は何か。これは古典的期待とは反する。
• RQ4 $ \varepsilon \to 0 $ の極限における固有値 $ \lambda_\varepsilon $ 及び関連固有関数 $ \phi_\varepsilon $ の正確な漸近挙動は何か。
• RQ5 摂動の符号および複素数性が、固有値の存在および位置にどのように影響するか。

主な発見

• 摂動されたシュレーディンガー作用素 $ H_\varepsilon $ に固有値が存在するのは、方程式 $ k - \frac{\varepsilon}{2}\langle S_\varepsilon(k)\mathcal{L}_\varepsilon[1]\rangle = 0 $ の解 $ k_\varepsilon $ が $ \mathrm{Re}\,k_\varepsilon > 0 $ を満たす場合に限る。
• 固有値は漸近形 $ \lambda_\varepsilon = -k_\varepsilon^2 $ を持ち、ここで $ k_\varepsilon = \varepsilon \frac{1}{2}(m_\varepsilon^{(1)} + \varepsilon m_\varepsilon^{(2)} + O(\varepsilon^2)) $ であり、$ m_\varepsilon^{(1)} = \langle \mathcal{L}_\varepsilon[1] \rangle $、$ m_\varepsilon^{(2)} $ は摂動カーネルに関する重積分を含む。
• 複素数値ポテンシャル $ V $ の場合、$ \langle V \rangle = 0 $ であっても固有値が存在しないとは限らない。$ m_\varepsilon^{(2)} $ の実部が負であっても、$ \mathrm{Re}\,k_\varepsilon > 0 $ であれば固有値は依然として存在する。
• ポテンシャル $ V_{\varepsilon} = \exp(i\varepsilon^{-1})V $ で $ \langle V \rangle > 0 $ の場合、特定の $ \varepsilon $-区間で固有値が存在し、漸近展開は $ \lambda_\varepsilon = -\left(\varepsilon \cos(1/\varepsilon)\right)^2 \frac{1}{4}\langle V \rangle^2 + O(\varepsilon^3) $ となる。
• 非局所的摂動 $ \mathcal{L}_\varepsilon[g] = \varkappa(Q)\langle \rho g \rangle $ の場合、$ \mathrm{Re}\langle \rho \rangle > 0 $ であれば固有値が存在し、漸近展開は $ \lambda_\varepsilon = -\varepsilon^2 \frac{1}{4}(|Q|\langle \rho \rangle)^2 + O(\varepsilon^3) $ となる。
• 摂動 $ \mathcal{L}_\varepsilon[g] = \varkappa(Q)\int_{-\infty}^x \rho(t)g(t)dt $ の場合、$ |Q|\langle \rho \rangle - \langle x\rho \rangle > 0 $ であれば固有値が存在し、漸近展開は $ k_\varepsilon = \varepsilon \frac{1}{2}( |Q|\langle \rho \rangle - \langle x\rho \rangle ) + O(\varepsilon^2) $ となる。