[論文レビュー] On local uniformization in arbitrary characteristic, I

Franz‐Viktor Kuhlmann|ArXiv.org|Mar 16, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、任意の特徴的値をもつ体上での代数関数体について、付値論的手法を用いて局所的均質化を確立する。すべての付値は、有限正規拡大の後で局所的均質化を許容し、ガロア拡大および残渣体の挙動についても追加の制御が可能である—正の特徴的値における特異点の解消に不可欠である。

ABSTRACT

We prove that every place of an algebraic function field F|K of arbitrary characteristic admits local uniformization in a finite extension F' of F. We show that F'|F can be chosen to be normal. If K is perfect and P is of rank 1, then alternatively, F' can be obtained from F by at most two Galois extensions; if in addition P is zero-dimensional, then we only need one Galois extension. Certain rational places of rank 1 can be uniformized already on F. We introduce the notion of "relative uniformization" for arbitrary finitely generated extensions of valued fields. Our proofs are based solely on valuation theoretical theorems, which are of fundamental importance in positive characteristic.

研究の動機と目的

• 特徴的値が任意のものであっても、ザリスキの局所均質化定理を拡張すること。
• 幾何的仮定を避け、拡大の種類についての制御を可能にする付値論的証明を提供すること。
• 有限正規またはガロア拡大が均質化に十分であることを示し、拡大次数に対する明確な上限を提示すること。
• 有限生成な付値体拡大における「相対的均質化」の概念を導入すること。
• 特に1階および0次元の付値に対して、最小限の拡大ステップで均質化が達成できる条件を確立すること。

提案手法

• 滑らかさのジャコビアン条件を、残渣体および値群の観点から分析するための付値論的技法を用いる。
• 残渣体におけるゼロでない行列式を持つ下三角行列を用いた弱い均質化の概念を導入する。
• 均質化の推移性を応用し、部分拡大から出発してヘンゼル化および分離閉包を用いて段階的に拡大を構成する。
• 付値の階数に関する帰納的議論を用い、凸部分群および商付値を用いて高階数のケースを1階に還元する。
• ヘンゼル化および完備化の性質を活用し、滑らかさを保ちつつ残渣体拡大を制御する。
• ガロア理論および純正則拡大を用いて、均質化に必要なステップ数を最小化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の特徴的値において、幾何的仮定を除き付値論的技法のみを用いて局所的均質化を達成できるか？
• RQ2 1階および0次元の付値に対して、均質化を達成するために必要な最小のガロア拡大の数は何か？
• RQ3 関数体の構造および残渣体拡大の観点から、均質化はどのように制御できるか？
• RQ4 ガロア拡大を通じて均質化を引き戻すことは可能か？その条件は何か？
• RQ5 ヘンゼル化および分離閉包は、均質化拡大を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 関数体 F|K の任意の付値は、F における有限正規拡大 F および P における P の拡大、および K における K の有限純正則拡大 K の後で、局所的均質化を許容する。
• K が完全体であり、P が1階の付値であるとき、F は F から高々2つのガロア拡大を経て得られる。P が0次元のとき、1つのガロア拡大で十分である。
• 1階の有理的離散付値は、F 上で既に均質化可能であり、拡大を要しない。
• K が完全体のとき、F|F は分離的であり、残渣体拡大 FP|FP は純正則的と選べる。
• 階数 r > 1 のアブヤンカラ付値に対しては、高々 r 個のガロア拡大を経て均質化が達成され、凸部分群およびヘンゼル化を用いた再帰的還元が可能である。
• 本稿は、均質化の推移的性質を確立し、逐次的拡大を通じて均質化系の構成を可能にする。