[論文レビュー] On localizations of characteristic classes of l-adic sheaves of rank 1

Takahiro Tsushima|ArXiv.org|May 13, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、境界除法を伴う滑らかなスキーム上のランク1 ℓ-adic ファイバー層に対して、2つの局所化された特徴類を導入する：対数的局所化特徴類と非クリーン局所化特徴類。クリーンな分岐の下でこれら2つが同値であることを証明し、分母を除去することでAbbes-Kato-Saitoの公式を精緻化するとともに、野生的分岐領域におけるKatoの0次元サイクル類のコhomological解釈を提供する。

ABSTRACT

The Grothendieck-Ogg-Shafarevich formula is generalized to any dimensional scheme by Abbes-Kato-Saito. In this paper, we introduce two methods of localization of the characteristic classes for sheaves of rank 1 and compare them. As a corollary of this comparison, we obtain a refinement of a formula proved by Abbes-Saito without denominator for a smooth sheaf of rank 1 which is clean with respect to the boundary.

研究の動機と目的

• ランク1 ℓ-adic ファイバー層の特徴類の比較において分母を除去することで、Abbes-Kato-Saitoの公式を精緻化すること。
• 2つの異なる特徴類の局所化法を導入・比較すること：1つは境界除法に沿った対数的ブローアップによるもの（対数的局所化特徴類）、もう1つは非退化性条件によるもの（非クリーン局所化特徴類）。
• 境界に対してクリーンなファイバー層に対して、局所化特徴類を用いてKatoの0次元サイクル類のコhomologicalな精緻化を構築すること。
• 正標数におけるKato-Saitoの指数公式を支持する、Abbes-Saitoの公式の局所化版を提供すること。

提案手法

• 境界除法 $ D $ に沿った対数的ブローアップを用いて、$ H_{D^{+}}^{0}(X, ilde{K}_X) $ におけるコhomology類として対数的局所化特徴類を定義し、野生的分岐を捉える。
• 非クリーン領域に台を持つコhomology類として非クリーン局所化特徴類を定義し、Katoのクリーン性の概念を高ランクへ一般化し、T. Saitoの非退化性条件による局所化を精緻化する。
• 標準的トレース写像とチャーン類の構成を用いて、局所化特徴類を対数的積 $ (X\times X)^{(R)} $ および $ (X\times X)\tilde{}_{U'} $ 上の交点数に関連付ける。
• 局所化チャーン類の公式 $ (-1)^d c_d(\text{対数的バンドル差}) \bigcap [X] $ を適用し、局所化特徴類を余接バンドルおよび自己交点を用いて表現する。
• トレースおよび双対性同型を用いて2つの局所化特徴類の同値性を証明し、$ \tilde{F} $ がクリーンであるとき $ C_{D^+}^{\text{log},0}(j_!\tilde{F}) = C_{T}^{\text{ncl},0}(j_!\tilde{F}) $ が成り立つことを示す。
• 写像 $ H_{D^+}^0(X, \tilde{K}_X) \to H^0(X, \tilde{K}_X) $ を用いて、局所化特徴類をグローバル特徴類および自己交点 $ (\triangle_X, \triangle_X)_{(X\times X)^{(R)}} $ に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク1 ℓ-adic ファイバー層の特徴類は、グローバル類よりも野生的分岐をより正確に捉えるために、どのように局所化できるか？
• RQ2 滑らかなランク1 ファイバー層に対して、対数的局所化特徴類と非クリーン局所化特徴類の関係は何か？
• RQ3 局所化特徴類を用いることで、Abbes-Kato-Saitoの公式から分母を除去して精緻化できるか？
• RQ4 ファイバー層が境界に対してクリーンであるとき、非クリーン局所化特徴類は消えるか？その場合、Katoの0次元サイクル類との比較にどのような影響を与えるか？
• RQ5 局所化特徴類を用いて、正標数におけるKato-Saitoの指数公式を証明できるか？

主な発見

• 対数的局所化特徴類 $ C_{D^+}^{\text{log},0}(j_!\tilde{F}) $ は、境界除法に沿った対数的ブローアップとトレース写像を用いて、$ H_{D^+}^0(X, \tilde{K}_X) $ におけるコhomology類として定義され、野生的分岐領域 $ D^+ $ に台を持つ。
• 非クリーン局所化特徴類 $ C_T^{\text{ncl},0}(j_!\tilde{F}) $ は、非クリーン領域に台を持つコhomology類として定義され、Katoのクリーン性の概念を高ランクへ一般化する。
• 主定理（定理3.8）は、$ C_{D^+}^{\text{log},0}(j_!\tilde{F}) = C_T^{\text{ncl},0}(j_!\tilde{F}) $ の等式を確立し、2つの局所化法の同値性を示す。
• $ \tilde{F} $ が境界に対してクリーンであるとき、非クリーン局所化特徴類は消え、これにより系3.10が得られる：$ H_{D^+}^0(X, \tilde{K}_X) $ 内で $ C_{D^+}^{\text{log},0}(j_!\tilde{F}) - C_{D^+}^{\text{log},0}(j_!\tilde{\nu}_U) = -c_{\tilde{F}} $ が成り立つ。ここで $ c_{\tilde{F}} $ はKatoの0次元サイクル類である。
• この等式により、分母を除去したAbbes-Kato-Saitoの公式が精緻化され、0次元サイクル類が局所化特徴類の差として表現される。
• この結果により、正標数におけるKato-Saitoの指数公式のコhomologicalな精緻化が得られ、前述の研究でその公式の証明に局所化特徴類が用いられている。