[論文レビュー] On locally extremal functions on connected spaces

Тарас Банах, Myroslava Vovk+1 more|ArXiv.org|Nov 11, 2008

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、連結で完備な距離空間上で、すべての点が局所極小または局所極大となる連続的で定数関数でない関数を構成する。これは、局所極値関数に関する長年の未解決問題を解決するものである。弱的分離数 $ R(X) < \mathfrak{c} $ の場合、このような関数は定数でなければならないことが証明されるが、$ R(X) = \mathfrak{c} $ の場合に反例が提示され、この条件の鋭さが示される。

ABSTRACT

We construct an example of a real-valued continuous non-constant function $f$ defined on a connected complete metric space $X$ such that every point of $X$ is a point of local minimum or local maximum for $f$. The space $X$ is connected but fails to be separably connected.

研究の動機と目的

• 連結距離空間上の連続的で局所極値な関数が常に定数関数であるかどうかを解明すること。
• 弱的分離数 $ R(X) $ が局所極値関数の像のサイズを制限する役割を調査すること。
• 連結で完備な距離空間上で非定数の連続的で局所極値関数を具体的に構成すること。
• 距離空間における連結性、分離的連結性、完備性の関係を検討すること。
• 連結空間上での非定数の局所極値関数が存在するためには $ R(X) \geq \mathfrak{c} $ が必須であることを確立すること。

提案手法

• 局所極値関数を、すべての点が局所極小または局所極大である関数として定義する。
• $ \alpha \in [0,1] $ をインデックスとする、完全な $ l_1 $-グラフ $ T_\alpha $ のコピーの和集合として空間 $ X $ を構成し、町間を飛行機で結ぶ。
• $ X $ に、町内でのタクシー移動と空港間の飛行機移動を組み合わせた距離 $ d $ を導入し、完備性を保証する。
• $ f^{-1}(\alpha) = T_\alpha $ により関数 $ f: X \to \mathbb{R} $ を定義し、$ f $ が非定数かつ連続であることを保証する。
• 非空港点および空港周辺の近傍を分析することで、$ X $ のすべての点が局所極値であることを証明する。
• $ f $ の像が開であり、各ファイバー $ T\alpha $ が連結であることから、$ X $ の連結性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結距離空間上で連続的で局所極値な関数は、常に定数関数であるか？
• RQ2 非定数の局所極値関数を許容する連結距離空間における弱的分離数 $ R(X) $ の最小値は何か？
• RQ3 連結で完備な距離空間は、すべての点が局所極値となる非定数の連続関数を許容できるか？
• RQ4 分離的連結でない連結で完備な距離空間は存在するか？
• RQ5 $ R(X) $、$ \mathrm{nw}(X) $、および局所極値関数の像の濃度との関係は何か？

主な発見

• 連結で完備な距離空間 $ X $ 上に、すべての点が局所極小または局所極大である連続的で非定数関数 $ f: X \to \mathbb{R} $ が存在する。
• このような空間の弱的分離数 $ R(X) $ は、連続の濃度 $ \mathfrak{c} $ を満たす必要がある、すなわち $ R(X) \geq \mathfrak{c} $ でなければならない。
• 任意の局所極値関数 $ f: X \to \mathbb{R} $ に対して、像のサイズは $ |f(X)| \leq R(X) $ を満たし、無限の場合に等号が成り立つ。
• $ R(X) < \mathfrak{c} $ の場合、$ X $ 上の任意の連続的で局所極値関数は定数関数でなければならない。
• 構成された空間 $ X $ は連結だが分離的連結ではないため、分離的連結性に対する完全な距離空間の反例を提供する。
• $ X $ は完備で連結であり、かつ分離的連結ではない距離空間であり、文脈文献における未解決問題を解決する。