[論文レビュー] On Log Canonical Models of the Moduli Space of Stable Pointed Curves

Matthew J. Simpson|ArXiv.org|Sep 25, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、Fultonのアーモン・コンジェクチャアの下で、$\overline{\mathbf{M}}_{0,n}$ の対数 canonical モデル $K_{\overline{\mathbf{M}}_{0,n}} + \alpha D$ が、$\alpha$ に依存する対称的重みを持つ重み付き安定曲線のモジュライ空間と同型であることを確立する。主な結果は、$\alpha$ が特定の範囲にあるとき、対数 canonical モデルが重み付き安定曲線空間に 有理同型であり、除数の正性と切断環の有限生成性を用いた明示的な幾何的実現がなされることである。

ABSTRACT

We study the log canonical models of the moduli space MBar_{0,n} of pointed stable genus zero curves with respect to the standard log canonical divisors K+aD, where D denotes the boundary. In particular we show that, as a formal consequence of a conjecture by Fulton regarding the ample cone of MBar_{0,n}, these log canonical models are equal to certain of Hassett's weighted pointed curve spaces.

研究の動機と目的

• 安定点付き genus 0 曲線のモジュライ空間 $\overline{\mathbf{M}}_{0,n}$ の対数 canonical モデルの構造を特定すること。
• $K_{\overline{\mathbf{M}}_{0,n}} + \alpha D$ に関連する対数 canonical モデルが、対称的重みを持つ重み付き安定曲線のモジュライ空間とどのように関係するかを明らかにすること。
• 除数の正性を用いて、切断環 $\bigoplus_{n\geq 0} \Gamma(n(K_{\overline{\mathbf{M}}_{0,n}} + \alpha D))$ の有限生成性を確立すること。
• Fultonの予想に従い、$\alpha$ が特定の範囲にあるとき、対数 canonical モデルが重み付き安定曲線モジュライ空間と同型であることを証明すること。
• $\mathfrak{s}_n$-同変ネフ錐の $A_\alpha$ 除数付近の構造を解析し、$n$ が十分に大きいときの単体的安定化を示すこと。

提案手法

• $K_{\overline{\mathbf{M}}_{0,n}} + \alpha D$ がネフかつバリエーション的である場合、Kawamataの基本点自由定理を用いて、切断環 $\bigoplus_{n\geq 0} \Gamma(n(K_{\overline{\mathbf{M}}_{0,n}} + \alpha D))$ の有限生成性を保証する。
• $f: X \to Y$ を $f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y$ を満たす有理写像として、引き戻しの全切断と元の切断との関係を示し、$f$ によって収縮される効果的除数 $F$ に対して $\Gamma(X, f^*D + F) = \Gamma(Y, D)$ が成り立つことを示す。
• $K_{\overline{\mathbf{M}}_{0,n}}$ を境界除数 $D_j$ を用いて表現し、公式 $K_{\overline{\mathbf{M}}_{0,n}} = \sum_{j=2}^{\lfloor n/2 \rfloor} D_j \cdot \frac{(j-2)(n-1) - j(j-1)}{n-1}$ を用いる。
• $\overline{\mathbf{M}}_{0,n}$ のアーモン・コンジェクチャアに関するFultonの予想に依拠し、対数 canonical モデルが、$\alpha$ に依存する対称的重みを持つ重み付き安定曲線のモジュライ空間と同型であることを導く。
• $\mathfrak{s}_n$-同変ネフ錐を、面 $F_k$ を研究することで解析し、$n$ が十分に大きいとき、頂点 $p_k$ が除数類上の線形方程式によって定義され、単体的構造に安定化することを示す。
• $k \geq n/3$ のとき、頂点 $p_k$ が $F$-ネフであることを、$a+b+c+d=n$ となる分割に対応する曲線との交点を計算することで証明し、すべてのケースで非負性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\overline{\mathbf{M}}_{0,n}$ の対数 canonical モデルが、対称的重みを持つ重み付き安定曲線のモジュライ空間と同型となる条件は何か？
• RQ2 切断環 $\bigoplus_{n\geq 0} \Gamma(n(K_{\overline{\mathbf{M}}_{0,n}} + \alpha D))$ の有限生成性は、重み付き安定曲線の幾何にどのように関係するか？
• RQ3 $\alpha \in (0,1)$ のとき、$A_\alpha$ 除数付近の $\mathfrak{s}_n$-同変ネフ錐の構造はいかなるものか？
• RQ4 どの $\alpha$ の値に対して $K_{\overline{\mathbf{M}}_{0,n}} + \alpha D$ がネフかつバリエーション的であり、対数 canonical モデルの存在を保証するか？
• RQ5 $n$ が十分に大きいとき、ネフ錐の面 $F_k$ は単体か？ もしそうなら、どのような条件下で成立するか？

主な発見

• Fultonのアーモン・コンジェクチャアが成り立つ限り、$K_{\overline{\mathbf{M}}_{0,n}} + \alpha D$ に関連する対数 canonical モデルは、$\alpha$ に依存する対称的重みを持つ重み付き安定曲線のモジュライ空間と同型である。
• $\alpha \geq \frac{2}{n-1}$ のとき、$K_{\overline{\mathbf{M}}_{0,n}} + \alpha D$ は有効的かつバリエーション的であり、$\alpha < 1$ のとき対数 canonical である。
• $\alpha \in [7/10, 1]$ のとき、切断環 $\bigoplus_{n\geq 0} \Gamma(n(K_{\overline{\mathbf{M}}_{0,n}} + \alpha D))$ は有限生成であり、一部の場合は幾何的不変量理論による明示的構成が可能である。
• $n$ が十分に大きいとき、$\mathfrak{s}_n$-同変ネフ錐の面 $F_k$ は $k \geq \lfloor n/2 \rfloor - t$ に対して単体であることが示され、$n \geq 8$ で安定化が観察された。
• $k \geq n/3$ のとき、$F$-単体の頂点 $p_k$ は $F$-ネフであることが、$a+b+c+d=n$ に対応するすべての曲線クラスとの交点を計算することで確認された。
• $p_k$ の $F$-ネフ性に必要な $k \geq n/3$ の境界は、タイトである。$n = 3l + p$（$p \in \{1,2,3\}$）の反例により、$p_{\lfloor n/2 \rfloor - l}$ が曲線と負の交点を持つことが示された。