[論文レビュー] On lower semicontinuous multifunctions in quasi-uniform and vector spaces

Andrzej Spakowski|ArXiv.org|Apr 10, 2002

Advanced Banach Space Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、準位相空間および位相的ベクトル空間における多価関数の下半連続性の統一的概念を導入し、これを$β$-lscと呼ぶ。これは、ベトリス-lsc、ハウスドルフ-lsc、および有界ハウスドルフ-lscを一般化する。本稿では、範囲空間が局所凸である場合に限り、ハウスドルフ-lscな多価関数の凸包がハウスドルフ-lscであることを示し、特に被覆$β$の平行移動不変性と局所凸性の下で、ベクトル和および凸包作用が$β$-lscを保つことを示している。

ABSTRACT

Given a cover $\mathcal{B}$ of a quasi-uniform space $Y$ we introduce a concept of lower semicontinuity for multifunctions $F:X o 2^Y$, called $\mathcal{B}$-lsc. In this way, we get a common description of Vietoris-lsc, Hausdorff-lsc, and bounded-Hausdorff-lsc as well. Further, we examine set-theoretical and vector operations on such multifunctions. We also point out that the convex hull of Hausdorff-lsc multifunctions need not to be Hausdorff-lsc except the case where the range space is locally convex.

研究の動機と目的

• 位相空間およびベクトル空間における多価関数の下位連続性の概念を統一すること。
• 範囲空間の被覆を用いて、ベトリス-lsc、ハウスドルフ-lsc、および有界ハウスドルフ-lscを統一的な枠組みで一般化すること。
• ベクトル和や凸包などの集合的演算における下位連続性の保存を調査すること。
• ハウスドルフ-lscな多価関数の凸包がハウスドルフ-lscのままとなるための必要十分条件を特定すること。
• 局所凸性が凸包作用における半連続性の保存に果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 範囲空間$Y$の被覆$β$と$Y$上の準位相$υ$を用いて、$β$-lsc多価関数を定義し、既存の下位連続性の概念を一般化する。
• $β$-lsc条件を次のように定式化する：任意の$W \in \mathcal{U}$および$B \in \mathcal{B}$に対して、ある$x_0$の近傍$U(x_0)$が存在し、すべての$x \in U(x_0)$に対して$F(x_0) \cap B \subset W^{-1}(F(x))$が成り立つ。
• 準位相構造を用いて$W^{-1}(F(x)) = \{ y \in Y : \exists z \in F(x), (y,z) \in W \}$を定義し、近傍に基づく到達可能性を捉える。
• ベクトル演算（ベクトル和$F+G$および凸包$\text{conv}(F)$）にこの概念を適用し、$β$-lscの保存を分析する。
• もし$\mathcal{B}$が平行移動不変であり、$F$が$\mathcal{B}$-lscであれば、連続な$g$に対して$F+g$が$\mathcal{B}$-lscであることを、近傍の摂動と集合包含を用いて証明する。
• 局所凸空間では、$\mathcal{B}$-lscが$\text{conv}(F)$が$\mathcal{B}$-lscであることを、凸結合と近傍の凸性の議論により確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベトリス-lsc、ハウスドルフ-lsc、および有界ハウスドルフ-lscの概念を、多価関数に関して一貫した枠組みで統一できるか？
• RQ2 二つの$\mathcal{B}$-lsc多価関数のベクトル和が、いつ$\mathcal{B}$-lscとなるか？
• RQ3 $\mathcal{B}$-lsc多価関数の凸包は常に$\mathcal{B}$-lscであるのか？ また、$Y$にどのような構造的仮定が必要か？
• RQ4 非局所凸空間における多価関数に対して、凸包作用はハウスドルフ-lscを保つのか？
• RQ5 ベクトル和作用における$\mathcal{B}$-lscの保存において、平行移動不変性の役割は何か？

主な発見

• 範囲空間の被覆$\mathcal{B}$と$Y$上の準位相を用いることで、$\mathcal{B}$-lscの概念が、ベトリス-lsc、ハウスドルフ-lsc、および有界ハウスドルフ-lscを統一的に扱う。
• 被覆$\mathcal{B}$が平行移動不変であり、一方の関数が連続であれば、二つの$\mathcal{B}$-lsc多価関数のベクトル和は$\mathcal{B}$-lscである。
• 範囲空間$Y$が局所凸であれば、$\mathcal{B}$-lsc多価関数の凸包は$\mathcal{B}$-lscである。
• 非局所凸な距離空間では、ハウスドルフ-lsc多価関数の凸包がハウスドルフ-lscでないことがある。$0 < p < 1$の$l^p$空間を用いた反例によってこれを示している。
• 二つのV-lsc多価関数のベクトル和はV-lscである。V-lscは、$\mathcal{B}$が単一集合の族である$\mathcal{B}$-lscに相当する。
• 本稿では、平行移動不変な$\mathcal{B}$であっても、二つの$\mathcal{B}$-lsc多価関数のベクトル和が$\mathcal{B}$-lscでない場合がある反例を提示しており、平行移動不変性だけでは不十分であり、追加の構造的条件が必要であることを示している。