[論文レビュー] On Lusternik-Schnirelmann category of SO(10)

Norio Iwase, Kai Kikuchi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、構造群が $\mathrm{SO}(9)$ である主バンドル $\mathrm{SO}(10) \to S^9$ の Lusternik-Schnirelmann (L-S) コンパクト性を、$\mathrm{SO}(9)$ のコーン分解と特性写像および Berstein-Hilton ホップ不変量の条件に基づいて、新たなホモトピー的基準によって評価する。主な結果として、$\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10)) = 21$ が得られ、これはその $\mathbb{F}_2$ 上のカップ長と一致し、すべての $\mathrm{SO}(n)$ に対してこの等式が成り立つという予想を支持する。

ABSTRACT

Let $G$ be a compact connected Lie group and $p : E o ΣA$ be a principal G-bundle with a characteristic map $α: A o G$, where $A=ΣA_{0}$ for some $A_{0}$. Let $\{K_{i}{ o} F_{i-1}{\hookrightarrow} F_{i} \,|\, 1{\le} i {\le} n,\, F_{0}{=} \{\ast\} \; F_{1}{=} Σ{K_{1}} \; ext{and}\; F_{n}{\simeq} G \}$ be a cone-decomposition of $G$ of length $m$ and $F'_{1}=Σ{K'_{1}} \subset F_{1}$ with $K'_{1} \subset K_{1}$ which satisfy $F_{i}F'_{1} \subset F_{i+1}$ up to homotopy for any $i$. Our main result is as follows: we have $\operatorname{cat}(X) \le m{+}1$, if firstly the characteristic map $α$ is compressible into $F'_{1}$, secondly the Berstein-Hilton Hopf invariant $H_{1}(α)$ vanishes in $[A, ΩF'_1{\ast}ΩF'_1]$ and thirdly $K_{m}$ is a sphere. We apply this to the principal bundle $\mathrm{SO}(9)\hookrightarrow\mathrm{SO}(10) o S^{9}$ to determine L-S category of $\mathrm{SO}(10)$.

研究の動機と目的

• 主バンドル $E \to \Sigma A$ のL-S次元を、コーン分解と特性写像に基づいてホモトピー的基準で評価するための手法を開発すること。
• 幾何的トポロジーにおける重要なリー群である $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10))$ の計算という未解決問題に取り組むこと。
• $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10)) = 21$ を証明し、これはその $\mathbb{F}_2$ 上カップ長と一致する。この結果は、すべての $\mathrm{SO}(n)$ に対して一般化可能なパターンを示唆する。

提案手法

• 長さ20の $\mathrm{SO}(9)$ のコーン分解を構成し、$F_0 = \{\ast\}$、$F_1 \simeq \Sigma \mathbb{C}P^3$、$F_{20} \simeq \mathrm{SO}(9)$ となるようにする。ここで $F_i$ はセル付加により構成される。
• $F'_1 = \Sigma \mathbb{C}P^3 \subset F_1$ を定義し、$1 \leq i < 20$ に対して $\mu|_{F_i \times F'_1}$ がホモトピー的に $F_{i+1}$ に圧縮可能であることを確認することで、群構造と整合性を持つことを保証する。
• 特性写像 $\alpha: S^8 \to \mathrm{SO}(9)$ が、$\mathbb{C}P^3$ 上の標準的 $S^1$-バンドルのススペンションにホモトープであるという事実を用いて、$F'_1 = \Sigma \mathbb{C}P^3$ に圧縮可能であることを示す。
• 特性写像 $\alpha$ がススペンション写像であることから、$[S^8, \Omega F'_1 * \Omega F'_1]$ 内で Berstein-Hilton ホップ不変量 $H_1(\alpha)$ が消えることを証明する。
• 定理1.4を適用し、$\alpha$ が $F'_1$ に圧縮可能であること、$H_1(\alpha)$ が消えること、および $K_m$ が球面であることの3条件を満たすため、$\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10)) \leq 21$ を結論づける。
• 上界と既知の下界 $\operatorname{cup}(\mathrm{SO}(10); \mathbb{F}_2) = 21$ を組み合わせることで、等式が成立することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SO(10) のLusternik-Schnirelmann次元は何か？ また、それはその $\mathbb{F}_2$ 上カップ長と一致するか？
• RQ2 主バンドル $\mathrm{SO}(9) \to \mathrm{SO}(10) \to S^9$ の構造を用いて、コーン分解法により $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10))$ を計算できるか？
• RQ3 Berstein-Hilton ホップ不変量とコーン分解構造が、主バンドル $E \to \Sigma A$ に対して $\operatorname{cat}(E) \leq m+1$ を保証するホモトピー的条件は何か？

主な発見

• Lusternik-Schnirelmann次元 $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10))$ は正確に21であり、コーン分解による上界とカップ長による下界を組み合わせることで確立された。
• 上界 $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10)) \leq 21$ は、定理1.4に基づくもので、特性写像 $\alpha$ が $F'_1 = \Sigma \mathbb{C}P^3$ に圧縮可能であること、ホップ不変量 $H_1(\alpha)$ が消えること、および最高次セル $K_{20}$ が球面であることの3条件を満たす場合に適用可能である。
• 特性写像 $\alpha: S^8 \to \mathrm{SO}(9)$ は、$\mathbb{C}P^3$ 上の標準的 $S^1$-バンドルのススペンションにホモトープであるため、$F'_1 = \Sigma \mathbb{C}P^3 \subset F_1$ に圧縮可能であることが保証される。
• Berstein-Hilton ホップ不変量 $H_1(\alpha)$ は、$\alpha$ がススペンション写像であるため、関連するホモトピー群内で自明である。
• $\mathrm{SO}(9)$ のコーン分解は長さ20であり、$F_{20} \simeq \mathrm{SO}(9)$ であり、最高次セル $K_{20} = S^{35}$ である。これは定理1.4における球面条件を満たしている。
• 結果として $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10)) = 21 = \operatorname{cup}(\mathrm{SO}(10); \mathbb{F}_2)$ が得られ、これはすべての $n$ に対して $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(n)) = \operatorname{cup}(\mathrm{SO}(n); \mathbb{F}_2)$ が成り立つという予想を支持する。