[論文レビュー] On M-functions associated with modular forms

Philippe Lebacque, Alexey Zykin|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、原始的尖点形式 $f$ の重さ $k$ とレベル $N$ および素数の導手を持つディリクレ指標 $χ$ に対して、$χ$ を通じた $\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s)$ の値分布を研究する。ここで $\mathfrak{L}$ は $\log L(f\otimes\chi,s)$ または $(L'/L)(f\otimes\chi,s)$ のいずれかである。一般化リーマン予想の下で、極限関数と調和平均を用いて、これらの値の等分布を確立し、解析的およびオイラー積の性質を持つ極限密度関数 $M_\sigma(w)$ と $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$ の存在を証明する。

ABSTRACT

Let $f$ be a primitive cusp form of weight $k$ and level $N,$ let $χ$ be a Dirichlet character of conductor coprime with $N,$ and let $\mathfrak{L}(f\otimes χ, s)$ denote either $\log L(f\otimes χ, s)$ or $(L'/L)(f\otimes χ, s).$ In this article we study the distribution of the values of $\mathfrak{L}$ when either $χ$ or $f$ vary. First, for a quasi-character $ψ\colon \mathbb{C} o \mathbb{C}^ imes$ we find the limit for the average $\mathrm{Avg}\_χψ(L(f\otimesχ, s)),$ when $f$ is fixed and $χ$ varies through the set of characters with prime conductor that tends to infinity. Second, we prove an equidistribution result for the values of $\mathfrak{L}(f\otimes χ,s)$ by establishing analytic properties of the above limit function. Third, we study the limit of the harmonic average $\mathrm{Avg}^h\_f ψ(L(f, s)),$ when $f$ runs through the set of primitive cusp forms of given weight $k$ and level $N o \infty.$ Most of the results are obtained conditionally on the Generalized Riemann Hypothesis for $L(f\otimesχ, s).$

研究の動機と目的

• 固定された $f$ に対して、導手が無限大に近づく素数の導手を持つディリクレ指標 $\chi$ を動かしたときの $\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s) = \log L(f\otimes\chi,s)$ または $(L'/L)(f\otimes\chi,s)$ の分布を分析すること。
• 準キャラクター $\psi$ に対する平均 $\mathrm{Avg}_\chi \psi(L(f\otimes\chi,s))$ の極限を分析することにより、これらの $\mathfrak{L}$-値の等分布結果を確立すること。
• 固定された重さ $k$ とレベル $N \to \infty$ の原始的尖点形式に対する調和平均への分析を拡張し、得られる極限密度関数を研究すること。
• 極限関数 $M_\sigma(w)$ および $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$ の解析的および算術的性質を調査すること。これには、オイラー積構造と成長挙動が含まれる。

提案手法

• 著者たちは、モジュラー形式とそのディリクレ指標によるねじれの $L$-関数の理論に焦点を当て、これらの $L$-関数の対数微分および対数を扱う。
• 一般化リーマン予想の下で、準キャラクター $\psi$ に対する平均 $\mathrm{Avg}_\chi \psi(L(f\otimes\chi,s))$ の極限として、極限関数 $\mathcal{M}_\sigma(w)$ を定義する。
• 極限測度が密度関数 $M_\sigma(w)$ に対応することを示すことにより、$\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s)$ の等分布が確立される。$\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$ はそのフーリエ変換として得られる。
• 極限関数 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$ の解析接続とオイラー積展開を、局所的 $L$-因子とヘッケ固有形式の構造から導出する。
• 形式 $f$ に対する調和平均に関しては、ペトロフスキーのトレース公式を用い、重みを $L(\mathrm{Sym}^2 f, 1)$ に関連付ける。トレース公式の技法を用いて調和重みを除去することを目的とする。
• 解析は、$L(f\otimes\chi,s)$ の一般化リーマン予想に依存しており、これにより $L$-関数とその対数微分の収束性と解析的性質が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $f$ に対して、$\chi$ の導手が無限大に近づくとき、平均 $\mathrm{Avg}_\chi \psi(L(f\otimes\chi,s))$ の極限を計算できるか？
• RQ2 $\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s)$ の分布は複素平面上で等分布するか？ その関連する極限密度関数 $M_\sigma(w)$ は何か？
• RQ3 レベル $N \to \infty$ の原始的尖点形式に対する調和平均 $\mathrm{Avg}^h_f \psi(L(f,s))$ を分析できるか？ そして、極限密度関数が得られるか？
• RQ4 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$ の解析的性質は何か？ これには、オイラー積、解析接続、成長挙動が含まれる。
• RQ5 結果は一般化リーマン予想なしに拡張可能か？ 他の自動形式の族へも拡張可能か？ また、関数体の類似は何か？

主な発見

• 一般化リーマン予想の下で、平均 $\mathrm{Avg}_\chi \psi(L(f\otimes\chi,s))$ の極限は存在し、関数 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$ を定義する。この関数は $z_1, z_2$ に関して整関数であり、オイラー積展開を有する。
• $\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s)$ の分布は、極限密度 $M_\sigma(w)$ に関して等分布し、任意の指数的成長の最大を持つテスト関数 $\Phi$ に対して、$\int_{\mathbb{C}} M_\sigma(w) \Phi(w) |dw| = \lim_{\chi} \mathrm{Avg}_\chi \Phi(\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s))$ を満たす。
• $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$ が $M_\sigma(w)$ の逆フーリエ変換であることが示され、そのプランシュレ体積 $\int_{\mathbb{C}} |\tilde{M}_\sigma(z,\bar{z})|^2 |dz|$ は適切に定義され、興味深い対象である。
• レベル $N \to \infty$ の原始的尖点形式に対する調和平均に関して、極限密度関数 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$ の存在が確立されたが、$s$ と $\bar{s}$ に依存するため、$s$ に関して正則ではない。
• 結果は一般化リーマン予想に依存しており、特に調和平均の場合にその仮定を外す際の主な課題を著者らが特定している。
• 調和重みを除去し、他の自動形式へ結果を拡張するためのプログラムを提示しており、トレース公式と局所理論が不可欠な道具であると示唆している。