[論文レビュー] On M-metric spaces and fixed point theorems

Samer Assaf|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2017

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Asadiらの2014年M-距離論文における補題2.5Bの証明に重大な欠陥があることを特定し、特に lim σ(xₙ,xₙ₋₁) = 0 が lim σ(xₙ,xₙ) = 0 を意味するとする主張が誤りであることを示している。これを是正するために、M-距離空間における開球および位相を再定義し、r-コーシー列のための新しい収縮条件を導入し、元の研究で正当に回復されなかった固定点定理を一般化する新しい主要定理を証明した。これにより、弱化された連続性および有界性条件のもとで固定点の存在が保証される。

ABSTRACT

In this paper we make some observations concerning m-metric spaces and point out some discrepancies in the proofs found in the literature. To remedy this, we propose a new topological construction and prove that it is in fact a generalization of a partial metric space. Then, using this construction, we present our main theorem having as its corollaries the fixed point theorems found in previous publications.

研究の動機と目的

• Asadi らの2014年M-距離論文における補題2.5Bの重大な誤りを特定・是正すること。特に、lim σ(xₙ,xₙ₋₁) = 0 が lim σ(xₙ,xₙ) = 0 を意味するとする主張が、反例によって誤りであることが示される。
• 適切な収束および極限の挙動を保証するため、M-距離空間における開球の再定義を提案し、位相的構成を修正すること。
• 弱オービタル連続性、非拡大性、または有界性の条件下で固定点の存在を保証する新しい主要固定点定理（定理8.1）を確立し、Asadi らの元の定理を正当に再構築すること。
• 提案されたM-距離が部分的距離空間を一般化することを示し、M-距離から部分的距離をどのように誘導できるかを示すこと。
• Asadi らの元の論文における定理3.1および定理3.2を、新しい枠組みおよび条件を用いて、正当かつ厳密に再証すること。

提案手法

• 負の値を許容する一般化されたM-距離を定義し、axiom (σ-lbnd)、(σ-sym)、(σ-sep)、(σ-inq) を用いる。min{σ(x,x),σ(y,y)} を下界として用いる。
• 元の構成における位相的欠陥を是正するため、M-距離空間における開球の再定義を提案し、適切な収束および極限の挙動を保証する。
• 新しい位相を用いて、M-距離空間におけるr-コーシー列および極限を定義し、極限の一意性や収束の性質といった位相的性質を確立する。
• r-コーシー関数および収縮条件を導入し、関数fによって生成される列がr-コーシーであることを保証する。これにより、固定点解析が可能になる。
• M-距離空間における弱オービタル連続性および非拡大性を定義し、これらを用いて特別な極限が固定点である条件を確立する。
• 主定理（定理8.1）を証明し、f が x₀ でr-コーシーであり、特別な極限a を持つとき、以下の三つの条件のいずれかが成り立つならば、a が固定点であることを示した：弱オービタル連続性と非拡大性の併存、または σ(f(a),f(a)) や σ(a,a) による下界の有界性。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Asadi ら（2014）の補題2.5Bにおける主張、すなわち lim σ(xₙ,xₙ₋₁) = 0 が lim σ(xₙ,xₙ) = 0 を意味するという主張は、M-距離空間で成り立つか？
• RQ2 修正された開球の定義を用いて、M-距離空間に適切な位相的構造を定義でき、収束および極限の挙動が正しく保証されるか？
• RQ3 誤った補題2.5Bに依存せずに、M-距離空間で固定点定理を証明することは可能か？ もしそうなら、どのような代替的条件のもとで可能か？
• RQ4 提案されたM-距離フレームワークは部分的距離空間をどのように一般化するか？ また、M-距離から部分的距離を誘導できるか？
• RQ5 Asadi らの元の論文における固定点定理（定理3.1および定理3.2）は、是正された枠組みおよび新しい条件を用いて、正当に再証可能か？

主な発見

• 反例を提示し、lim σ(xₙ,xₙ₋₁) = 0 が lim σ(xₙ,xₙ) = 0 を意味しないことを示し、Asadi らの元の証明における補題2.5Bが無効であることを立証した。
• 元のM-距離空間における開球の定義は適切な位相を誘導しないことが判明し、収束および極限の挙動を正しく保証するための修正定義を提案した。
• 新しい主要定理（定理8.1）は、三つの異なる条件下で固定点の存在を保証する：弱オービタル連続性と非拡大性の併存、または σ(f(a),f(a)) や σ(a,a) による下界の有界性。
• 是正された枠組みにより、Asadi らの定理3.1の正当な証明が可能となり、完備なM-距離空間上で連続かつk-収縮的（0 ≤ k < 1）な関数が一意な固定点を持つことが示された。
• 是正された枠組みにより、定理3.2の正当な証明も可能となり、完備なM-距離空間上で連続かつ2k-収縮的（0 ≤ k < 1/2）な関数が一意な固定点を持つことが示された。
• 本論文では、M-距離が部分的距離空間を一般化することを示し、σ*(x,y) = σ(x,y) − min{σ(x,x),σ(y,y)}（x ≠ y のとき）および σ*(x,x) = 0 と定義することで、M-距離から部分的距離を誘導できることを示した。