[論文レビュー] On magic angles and band flattening in twisted bilayer graphene

Hridis K. Pal|arXiv (Cornell University)|May 22, 2018

Graphene research and applications被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ねじれ二層グラフェンにおけるバンドフラットネスとマジック角の理論的説明を提案し、相互層結合による高次運動量項の部分的キャンセルがエネルギー分散において生じることでフラットバンドが出現することを示している。主な結果は、運動量空間における共鳴条件を用いた幾何的モデルであり、マジック角を予測するもので、方程式 (7) は数値的に計算された角度を驚くほど正確に近似しており、特に高次の角度において顕著である。

ABSTRACT

When two graphene layers are rotated from AA or AB configuration by a small angle, the band structure changes dramatically. Numerical calculations have shown that, at certain discrete angles called magic angles, the low energy bands become flat leading to localization of electrons. The origin of this strange behavior, however, is not well understood. Here, I propose a theory that offers an understanding of the phenomenon, focusing on the first magic angle. It is shown that coupling between the layers, in addition to renormalizing the Dirac velocity, introduces higher order momentum terms in the energy dispersion that are not all of the same sign. Partial cancellation among these terms leads to the flatness of the low energy bands. Also, while there is modulation of electron density in real space, there is no localization---the modulation arises due to the superposition of plane wave states with different momenta in the two layers. In addition, it is conjectured that there is an underlying geometric reason for the appearance of more than one magic angle which can be exploited to predict higher magic angles approximately without computing the band structure.

研究の動機と目的

• ねじれ二層グラフェンにおけるマジック角でのバンドフラットネスと電子局在化の非摂動的起源を理解すること。
• 標準的手法が失敗する非摂動的領域においても、フラットバンドが離散的な角度でのみ現れる理由を解明すること。
• 実空間における局在化とは関係なく、電子密度の空間的周期的変動を説明し、異なる運動量を持つ平面波の重ね合わせに起因することを示すこと。
• 完全なバンド構造計算を伴わずに高次のマジック角を予測可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 二つの回転したグラフェン層のディラック点近傍の状態を結合する低エネルギーハミルトニアンを構築し、相対的運動量に依存する位相因子を有する層間 hopping 項を組み込む。
• ディラック点の周りでの運動量に関する摂動展開を用いてエネルギー分散を導出し、符号が混合する高次運動量項が現れることが明らかになる。
• バンドフラットネスがディラック速度がゼロであることによるものではなく、これらの高次項のほぼ完全なキャンセルに起因することを特定する。
• 幾何的共鳴条件を導入：層間結合 γ が運動量オフセット ΔK における状態間のエネルギー分裂 vΔK と一致するときにフラットバンドが出現する。
• 運動量空間における複数の hopping を拡張し、競合する経路が 1/K の有効な平均化をもたらすのを考慮する。
• 方程式 (7) を導出：θ^m_i = (γ/v)⟨1/K_i⟩ で、⟨1/K_i⟩ は拡張ブリユアンゾーンにおける i 番目の近隣ディラック点までの平均逆運動量距離である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非摂動的性質を持つにもかかわらず、なぜねじれ二層グラフェンではフラットバンドが特定の離散的角でのみ出現するのか？
• RQ2 モアレスケールでの電子密度変動の物理的起源は何か？ なぜこれは実空間における局在化とは関係がないのか？
• RQ3 複数のマジック角の存在に、幾何的または位相的根拠があるのか？
• RQ4 完全なバンド構造を数値的に解かずに、高次のマジック角を予測できるか？

主な発見

• マジック角におけるバンドフラットネスは、ディラック速度がゼロであることによるものではなく、エネルギー分散における高次運動量項の部分的キャンセルに起因する。
• 電子密度のモアレスーパーセルスケールでの変動は、実空間における局在化ではなく、二つの層の異なる運動量を持つ平面波状態の干渉に起因する。
• 最初のマジック角は γ = vΔK のときであり、層間結合と運動量オフセット ΔK 間の共鳴に相当する。
• 高次のマジック角は、拡張ブリユアンゾーンにおけるより遠く離れたディラック点で共鳴条件が満たされたときに生じ、複数の hopping 経路が競合する。
• 方程式 (7) は i 番目のマジック角を予測する近似式を提供する：θ^m_i = (γ/v)⟨1/K_i⟩ で、最初の5つの角度について数値結果と約30%以内で一致する。
• 予測値と数値的結果の乖離は、高次のマジック角において減少しており、これは小ねじれ角の極限においてモデルがより正確になる傾向にあることを示唆している。