[論文レビュー] On Making Directed Graphs Eulerian

Manuel Sorge|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有向多重グラフに重み最小の弧を追加してオイラー的とすることを目的とする有向グラフにおけるオイラー拡張（EE）問題を研究する。時間計算量 $ olde{4^{c\log(bc^2)}n^2(b^2 + n\log n) + n^2m}$ のパラメータ化されたアルゴリズムを提示し、$c$ は連結成分の数、$b$ は正のインデグリー・マイナス・アウトデグリーの不均衡の合計である。また、$c$ をパラメータとする固定パラメータ可 tractability を可能にする新たなマッチングに基づく再定式化を導入する。主な貢献は、追加される弧の数 $k$ をパラメータとする従来の研究と比較して、パラメータ化された効率性が著しく向上している点である。

ABSTRACT

A directed graph is called Eulerian, if it contains a tour that traverses every arc in the graph exactly once. We study the problem of Eulerian extension (EE) where a directed multigraph G and a weight function is given and it is asked whether G can be made Eulerian by adding arcs whose total weight does not exceed a given threshold. This problem is motivated through applications in vehicle routing and flowshop scheduling. However, EE is NP-hard and thus we use the parameterized complexity framework to analyze it. In parameterized complexity, the running time of algorithms is considered not only with respect to input length, but also with respect to other properties of the input - called "parameters". Dorn et. al. proved that EE can be solved in O(4^k n^4) time, where k denotes the parameter "number of arcs that have to be added". In this thesis, we analyze EE with respect to the (smaller) parameters "number c of connected components in the input graph" and "sum b over indeg(v) - outdeg(v) for all vertices v in the input graph where this value is positive". We prove that there is an algorithm for EE whose running time is polynomial except for the term 4^(c log(bc^2)). To obtain this result, we make several observations about the sets of arcs that have to be added to the input graph in order to make it Eulerian. We build upon these observations to restate EE in a matching context. This matching formulation of EE might be an important tool to solve the question of whether EE can be solved within running time whose superpolynomial part depends only on c. We also consider polynomial time preprocessing routines for EE and show that these routines cannot yield instances whose size depends polynomially only on either of the parameters b, c, k unless coNP is contained in NP/poly.

研究の動機と目的

• 車両ルーティングやスケジューリングの応用に動機づけられた、有向グラフにおけるNP困難なオイラー拡張（EE）問題に対処すること。
• 標準的な $k$（追加される弧の数）よりも小さいパラメータに注目して、パラメータ化された複雑性の観点からEEを分析すること。
• 計算時間の依存関係を $c$（成分数）と $b$（正の次数不均衡の合計）に限定する、効率的なアルゴリズムの開発。
• EEをマッチング問題に再定式化し、$c$ に関する固定パラメータ可 tractability を探る。
• EEに対する多項式時間前処理の限界を調査し、多項式時間の問題カーネルが得られる可能性は、多項式階層が崩壊する場合を除いて低いことを示す。

提案手法

• 新しい2つのパラメータ $c$（連結成分数）と $b$（正のインデグリー・マイナス・アウトデグリー不均衡の合計）を導入し、分析する。
• 時間計算量が $\mathcal{O}(4^{c\log(bc^2)}n^2(b^2 + n\log n) + n^2m)$ である多変量アルゴリズムを開発し、$m$ は弧の数である。
• オイラー的グラフにするために必要な弧集合の構造的性質に着目し、問題を単純化し、マッチングの文脈に還元する。
• EEを結合付き二部マッチング（CBM）として再定式化し、EEと自然なマッチング問題との間の関係を確立する。
• 多項式時間前処理では、$b$、$c$、$k$ に関して多項式サイズの問題カーネルを得ることはできないことを証明し、$\text{coNP} \subseteq \text{NP}/\text{poly}$ でない限り、このようなカーネルは不自然であることを示す。
• 動的計画法とグラフ分解技術を活用し、結合制約付きの二部グラフ上の制約付きマッチング問題にEEを還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ $k$（追加される弧の数）の代わりに、$c$（成分数）と $b$（正の次数不均衡の合計）を主パラメータとして用いることで、オイラー拡張問題をより効率的に解くことは可能か？
• RQ2 パラメータ $c$ のみに関して、EEの固定パラメータ可 tractable なアルゴリズムは存在するか？また、マッチング再定式化はその達成を支援するか？
• RQ3 多項式時間前処理は、$b$、$c$、$k$ に関して多項式サイズにまでEEのインスタンスを縮小できるか、その程度はどの程度か？
• RQ4 EEを結合付き二部マッチング（CBM）として再定式化することは、EEの構造的複雑性を理解するのにどのように寄与するか？
• RQ5 有向ケースの知見を無向バージョンのEEに拡張できるか？また、マッチング再定式化は一般化可能か？

主な発見

• 計算時間 $ olde{4^{c\log(bc^2)}n^2(b^2 + n\log n) + n^2m}$ のEE用のアルゴリズムが提示され、$c$ と $b$ に対してのみ超多項式的に依存するため、従来の $ olde{4^k n^4}$ アルゴリズムよりも優れている。
• 問題EEが結合付き二部マッチング（CBM）問題として再定式化され、$c$ に関する固定パラメータ可 tractability の可能性を示唆する新たな構造的視点が得られた。
• 多項式時間前処理では、$b$、$c$、$k$ に関して多項式サイズの問題カーネルを得ることはできないことが証明され、$\text{coNP} \subseteq \text{NP}/\text{poly}$ でない限り、そのようなカーネルは不自然である。
• $b$ と $c$ が $k$ によって上界を持つことが示され、$c$ と $b$ が小さい場合には、パラメータ化された複雑性の観点で、新しいアルゴリズムがより効率的であることが示唆される。
• 従来の動的計画法とは異なり、本アルゴリズムは指数的空間ではなく、多項式空間しか使用しないと予想される。
• EEとCBMの同値性は、結合集合サイズに関してCBMを解くことができれば、$c$ に関するEEの固定パラメータ可 tractability を解決できる可能性を示唆している。