[論文レビュー] On Malliavin's differentiability of BSDE with time delayed generators driven by Brownian motions and Poisson random measures

Łukasz Delong, Peter Imkeller|arXiv (Cornell University)|May 25, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される時間遅れ型生成子を有する後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）の解の存在、一意性、およびマリヤン・微分可能性を確立する。解のマリヤン微分の予測可能投影が制御過程（Z, U）に一致することを証明し、古典的なクラーク・オクソン型関係を遅延ダイナミクスへと拡張する。

ABSTRACT

We investigate solutions of backward stochastic differential equations (BSDE) with time delayed generators driven by Brownian motions and Poisson random measures, that constitute the two components of a Levy process. In this new type of equations, the generator can depend on the past values of a solution, by feeding them back into the dynamics with a time lag. For such time delayed BSDE, we prove existence and uniqueness of solutions provided we restrict on a sufficiently small time horizon or the generator possesses a sufficiently small Lipschitz constant. We study differentiability in the variational or Malliavin sense and derive equations that are satisfied by the Malliavin gradient processes. On the chosen stochastic basis this addresses smoothness both with respect to the continuous part of our Levy process in terms of the classical Malliavin derivative for Hilbert space valued random variables, as well as with respect to the pure jump component for which it takes the form of an increment quotient operator related to the Picard difference operator.

研究の動機と目的

• Lévy過程（ブラウン運動およびポアソン確率測度の組み合わせから成る）によって駆動される、時間遅れ型生成子を有する後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）の解の存在と一意性を調査すること。
• Lévy過程の連続的（ブラウン）および純跳躍的（ポアソン）成分の両方に関して、解のマリヤン微分可能性を確立すること。
• マリヤン勾配過程の構造を導出し、制御成分（Z, U）が解Yのマリヤン微分の予測可能投影に一致することを検証すること。
• 非遅延型BSDEにおける古典的結果（特にクラーク・オクソン表現）を時間遅れ型生成子の状況へと拡張すること。
• 遅延ダイナミクスを含む確率的制御および数学的ファイナンス分野における感度解析および数値的手法のための厳密な基盤を提供すること。

提案手法

• 有限時間区間 [−T, 0] 内の解（Y_s, Z_s, U_s）の過去の値に依存する時間遅れ型生成子 f を有するBSDEを定式化する。
• 適切な L² 空間内での解の存在と一意性を、十分に小さな時間区間または小さなリプシッツ定数条件の下で、固定点論的アプローチを用いて証明する。
• Lévy過程をブラウン運動とポアソン確率測度の組み合わせとしてモデル化するため、標準的なLévy空間フレームワークを用いる。
• ブラウン成分に関しては古典的ヒルベルト空間値マリヤン微分を、ジャンプ成分に関してはピカール差分作用素（増分商作用素）を用いて定義する。
• 元のBSDEに微分作用素を適用することで、マリヤン勾配過程（D_{s,z}Y, D_{s,z}Z, D_{s,z}U）の前向き・後向きSDEの系を導出する。
• 主要結果として、(D_{t,0}Y)^P = Z(t) および (D_{t,z}Y)^P = U(t,z) がほとんど至る所の (t,z) に対して成り立つことを確立し、マリヤン微分の予測可能投影が制御成分を回復することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される時間遅れ型生成子を有する後向きストキャスティック微分方程式が、どのような条件下で一意な解を有するか。
• RQ2 Lévy過程の連続的およびジャンプ的成分の両方に関して、解のマリヤン微分はどのように特徴付けられるか。
• RQ3 古典的な制御過程（Z, U）と解Yのマリヤントレースの関係が、時間遅れ型生成子の状況へと拡張可能か。
• RQ4 このようなBSDEのマリヤン勾配過程の構造は何か。また、生成子の遅延依存性とはどのように関係するか。
• RQ5 マリヤン微分のYの予測可能投影が、遅延設定下で制御過程ZおよびUを回復できるか。

主な発見

• 時間区間が十分に小さいか、生成子のリプシッツ定数が十分に小さい場合には、時間遅れ型BSDEに対して一意な解が存在する。
• 解（Y, Z, U）は空間 L^{1,2}(R) × L^{1,2}(R) × L^{1,2}(R) に属し、ブラウン成分およびジャンプ成分の両方に関してマリヤン微分可能であることが確認される。
• マリヤン微分過程（D_{s,z}Y, D_{s,z}Z, D_{s,z}U）は、元のBSDEに微分作用素を適用することで得られる前向きSDEの系を満たす。
• 制御成分（Z, U）は、解Yのマリヤン微分の予測可能投影に等しい：ほとんど至る所の (t,z) に対して (D_{t,0}Y)^P = Z(t) および (D_{t,z}Y)^P = U(t,z) が成り立つ。
• 解の制御成分とマリヤントレースの間の古典的クラーク・オクソン型関係が、時間遅れ設定下でも保持される。
• 非遅延型BSDEにジャンプを含む先行研究を拡張し、記憶効果を含む金融応用分野における感度解析および数値スキームのための基盤を提供する。