[論文レビュー] On manifolds with corners

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 76

ひとこと要約

本稿では、境界と fibre products が函子的になるように保証する新しい滑らかな写像の定義を備えた、角を持つ多様体の well-behaved なカテゴリ Man^c を導入する。主な貢献は、特徴的な横断的条件のもとで、fibre products の構成を厳密に可能にするフレームワークを提供することであり、これは特に J-正則曲線のモジュライ空間の幾何的構造をなす d-orbifolds に応用する上で不可欠である。

ABSTRACT

Manifolds without boundary, and manifolds with boundary, are universally known in Differential Geometry, but manifolds with corners (locally modelled on [0,\infty)^k x R^{n-k}) have received comparatively little attention. The basic definitions in the subject are not agreed upon, there are several inequivalent definitions in use of manifolds with corners, of boundary, and of smooth map, depending on the applications in mind. We present a theory of manifolds with corners which includes a new notion of smooth map f : X --> Y. Compared to other definitions, our theory has the advantage of giving a category Man^c of manifolds with corners which is particularly well behaved as a category: it has products and direct products, boundaries behave in a functorial way, and there are simple conditions for the existence of fibre products X x_Z Y in Man^c. Our theory is tailored to future applications in Symplectic Geometry, and is part of a project to describe the geometric structure on moduli spaces of J-holomorphic curves in a new way. But we have written it as a separate paper as we believe it is of independent interest.

研究の動機と目的

• 文献に存在する滑らかな写像、境界、構造に関する複数の同値でない定義の間の基礎的曖昧さを解消すること。
• 積、直積、fibre products などの圏論的構成に対して良好に振る舞う角を持つ多様体のカテゴリ Man^c を開発すること。
• 特に J-正則曲線のモジュライ空間の文脈において、将来のシンプレクティックトポロジーへの応用のための堅固な幾何的基盤を提供すること。
• fibre products が単純な横断的条件のもとで存在することを保証するフレームワークを確立し、Kuranishi 空間や角を持つ d-orbifolds の厳密な取り扱いを可能にすること。
• d-orbifolds が角を持つモジュライ空間の正しい幾何的構造として自然に生じることを示し、既存のアプローチを統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 境界と角の分層構造を尊重するように、角を持つ多様体間の滑らかな写像の新しい定義を導入し、境界分層のすべてのレベルで整合性を保証する。
• k-境界 ∂^kX と k-角 C_k(X) を、∂^kX を対称群 S_k で割った商として定義し、境界の明確な分層を提供する。
• 接空間の分解と引き戻しを用いて、滑らかな写像を通じる境界および角の接空間の関係を記述し、dC(π_X) ⊕ dC(π_Y) のような同型写像を介して整合性を保証する（fibre product の構成において）。
• fibre products X ×_Z Y が Man^c 内に存在することを保証するための横断的条件を適用し、主な条件は (49) のような接空間写像条件である：T_{(z,⋯)}C_l(Z) = dC(f)(T_{(x,⋯)}C_j(X)) + dC(g)(T_{(y,⋯)}C_k(Y))。
• 自然写像が接空間上で同型写像を誘導することを示すことにより、Man^c 内の fibre products が微分同相写像であることを証明する。この際、dι の単射性と式 (47) の同型写像を用いる。
• fibre product の構成のもとで、次式が成り立つことを示す：dim C_i(W) = dim C_j(X) + dim C_k(Y) - dim C_l(Z)。これにより、分層全体にわたる一貫性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界と fibre products が函手的に振る舞うような、一貫的かつ良好に振る舞う角を持つ多様体のカテゴリをどのように構成できるか？
• RQ2 境界分層全体を尊重し、圏論的構成を可能にする角を持つ多様体間の滑らかな写像の正しい定義は何か？
• RQ3 角を持つ多様体の圏において、fibre products X ×_Z Y が存在する条件は何か？そして、幾何的にどのように特徴づけられるか？
• RQ4 角を持つ多様体の理論を用いて、シンプレクティック幾何学における J-正則曲線のモジュライ空間の幾何的構造を厳密に定義できるか？
• RQ5 提案された滑らかな写像の定義は、d-manifold 理論に必要な角を持つ d-orbifolds の構成を支援するように、どのようにしてカテゴリを支えるか？

主な発見

• Man^c は、明確に定義された積、直積、および函手的境界を備えており、高度な幾何的構成に適している。
• 提案された滑らかな写像の定義により、k-境界 ∂^kX は (n−k)-次元の角を持つ多様体となり、k-角 C_k(X) は ∂^kX を S_k で割った商として明確に定義される。
• fibre products X ×_Z Y が Man^c 内に存在するのは、写像 f:X→Z と g:Y→Z が横断的であるときであり、その条件は各分層において T_{(z,⋯)}C_l(Z) = dC(f)(T_{(x,⋯)}C_j(X)) + dC(g)(T_{(y,⋯)}C_k(Y)) が成り立つことである。
• 角を持つ多様体の圏における fibre product からその分層の fibre product への自然写像は、接空間上で同型写像を誘導し、かつ全単射であるため、微分同相写像である。
• fibre product W = X ×_Z Y に対して、次式が成り立つ：dim C_i(W) = dim C_j(X) + dim C_k(Y) - dim C_l(Z)。これにより、境界分層全体にわたる一貫性が保証される。
• この理論は、Kuranishi 空間とポリフォール理論を結ぶ、J-正則曲線のモジュライ空間における正しい幾何的構造としての角を持つ d-orbifolds を定義する基盤を提供する。