[論文レビュー] On mapping properties of the general relativistic constraints operator in weighted function spaces, with applications

Piotr T. Chruściel, Erwann Delay|ArXiv.org|Jan 21, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 34被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、重力的制約作用素の重み付きソボレフ空間における写像性質を確立し、CorvinoとSchoenの手法を一般化することで、全射性の証明と、新たなグラービング、摂動、拡張定理の可能性を示している。真空初期データセットが無限遠およびブラックホールホライズン付近で正確にカーまたはシュワルツシルト的であるようなものが存在することを示し、Isenberg-Mazzeo-Pollackのグラービングにおける摂動が局所化可能であることを示しており、これにより、滑らかな未来の無限遠（I+）と、特定範囲内の自由に指定可能な多重極モーメントを持つ時空が構成可能であることを示している。

ABSTRACT

Generalising an analysis of Corvino and Schoen, we study surjectivity properties of the constraint map in general relativity in a large class of weighted Sobolev spaces. As a corollary we prove several perturbation, gluing, and extension results: we show existence of non-trivial, singularity-free, vacuum space-times which are stationary in a neighborhood of $i^0$; for small perturbations of parity-covariant initial data sufficiently close to those for Minkowski space-time this leads to space-times with a smooth global Scri; we prove existence of initial data for many black holes which are exactly Kerr -- or exactly Schwarzschild -- both near infinity and near each of the connected components of the apparent horizon; under appropriate conditions we obtain existence of vacuum extensions of vacuum initial data across compact boundaries; we show that for generic metrics the deformations in the Isenberg-Mazzeo-Pollack gluings can be localised, so that the initial data on the connected sum manifold coincide with the original ones except for a small neighborhood of the gluing region; we prove existence of asymptotically flat solutions which are static or stationary up to $r^{-m}$ terms, for any fixed $m$, and with multipole moments freely prescribable within certain ranges.

研究の動機と目的

• 重み付きソボレフ空間における制約写像のCorvinoとSchoenの分析を一般化し、全射性および同型定理を確立すること。
• 空間無限遠およびブラックホールホライズン付近で正確に定常的またはカーに類似した振る舞いを示す真空初期データの存在を証明すること。
• Isenberg-Mazzeo-Pollackのグラービング構成における摂動が、グラービング領域の近傍に局所化可能であることを示すこと。
• 真空初期データがコンパクトな境界を越えて拡張可能となる条件を確立すること。また、自由に指定可能な多重極モーメントを持つ漸近的に平坦な解の構成を可能とする条件を示すこと。
• 空間無限遠で正確にカー的であり、滑らかなグローバル未来の無限遠（I+）を持つ時空の存在を示すこと。

提案手法

• 重み付きソボレフ空間における線形化制約作用素の写像性質の一般理論を構築し、特定の重み付きピカールおよびスケーリング不等式を仮定する。
• 重み付き関数空間における逆関数定理を適用して制約方程式の解を構成する。
• 境界および無限遠における解の振る舞いを制御するため、ベクトル場の重み付き推定とピカール型不等式を用いる。
• 重み付きバナッハ空間におけるピカール反復法を用いて、制約写像の局所的可逆性を証明する。
• 初期データの小さな条件の下で収束を保証するように、逐次的構成により一様な局所的可逆性を確立する。
• 共形法およびLichnerowicz方程式を用いて、所望の漸近的振る舞いを持つ真空制約方程式の解を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における制約写像が、広範な重み付きソボレフ空間において全射であることが示せるか？
• RQ2 空間無限遠およびブラックホールホライズン付近で正確にカーまたはシュワルツシルト的であるような真空初期データが、どのような条件下で構成可能か？
• RQ3 グラービング構成における摂動は、グラービング領域の近傍に局所化可能か？その場合、元のデータはその近傍以外で保存されるか？
• RQ4 初期データがコンパクトな境界を越えて拡張可能となる条件は何か？
• RQ5 特定範囲内で自由に指定可能な多重極モーメントを持つ漸近的に平坦な初期データを構成可能か？

主な発見

• 適切なピカールおよびスケーリング不等式の下で、重み付きソボレフ空間における制約写像は全射であり、逆関数定理による解の構成が可能となる。
• 特異点のない非自明な真空時空が存在し、空間無限遠（i0）で正確に定常的であることが証明され、従来の結果が拡張される。
• 空間無限遠および各々の断面的ホライズン成分の周囲で正確にカーまたはシュワルツシルト的である初期データが構成可能であり、これにより「多数のブラックホール」解が得られる。
• Isenberg-Mazzeo-Pollackのグラービング構成における摂動は、グラービング点の近傍に局所化可能であり、他の領域では元のデータが保存される。
• 任意の固定されたmに対して、r−m項まで定常的であるような漸近的に平坦な解が存在し、特定範囲内の多重極モーメントは自由に指定可能である。
• ミンコフスキーに類似した初期データに対する小規模でパリティに保存される摂動に対して、対応する時空は滑らかなグローバル未来の無限遠（I+）を有し、漸近的単純性が確認される。