[論文レビュー] On mappings in the Orlicz-Sobolev classes

Denis Kovtonyuk, Vladimir Ryazanov+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2010

Analytic and geometric function theory参考文献 116被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、関数 $\rho$ に対してカルデロン型の条件を満たす、Orlicz-Sobolev 空間 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 内の開写像がほとんど everywhere で微分可能であり、ほとんどすべての超平面における $(n-1)$ 次元ハウスドルフ測度に関してルジンの (N)-性質を有することを確立している。この条件は必要かつ十分であることが示され、有限歪みを有する写像の理論が、$p>n-1$ の $W^{1,p}_{\rm loc}$ を含む、Orlicz-Sobolev 空間における下位およびリング $Q$-ホームオモルフィズムの理論へと拡張されている。主な貢献は、$\rho$ の増大度に関する $(N)$-性質の鋭い特徴づけである。

ABSTRACT

First of all, we prove that open mappings in Orlicz-Sobolev classes $W^{1,ϕ}_{ m loc}$ under the Calderon type condition on $ϕ$ have the total differential a.e. that is a generalization of the well-known theorems of Gehring-Lehto-Menchoff in the plane and of Väisälä in ${\Bbb R}^n$, $n\geqslant3$. Under the same condition on $ϕ$, we show that continuous mappings $f$ in $W^{1,ϕ}_{ m loc}$, in particular, $f\in W^{1,p}_{ m loc}$ for $p>n-1$ have the $(N)$-property by Lusin on a.e. hyperplane. Our examples demonstrate that the Calderon type condition is not only sufficient but also necessary for this and, in particular, there exist homeomorphisms in $W^{1,n-1}_{ m loc}$ which have not the $(N)$-property with respect to the $(n-1)$-dimensional Hausdorff measure on a.e. hyperplane. It is proved on this base that under this condition on $ϕ$ the homeomorphisms $f$ with finite distortion in $W^{1,ϕ}_{ m loc}$ and, in particular, $f\in W^{1,p}_{ m loc}$ for $p>n-1$ are the so-called lower $Q$-homeomorphisms where $Q(x)$ is equal to its outer dilatation $K_f(x)$ as well as the so-called ring $Q_*$-homeomorphisms with $Q_*(x)=[K_{f}(x)]^{n-1}$. This makes possible to apply our theory of the local and boundary behavior of the lower and ring $Q$-homeomorphisms to homeomorphisms with finite distortion in the Orlicz-Sobolev classes.

研究の動機と目的

• 関数 $\rho$ に対してカルデロン型の条件が成り立つ場合に、Orlicz-Sobolev 空間 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 内の開写像がほとんど everywhere で微分可能であることを確立すること。
• 連続写像が $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ に属し、$(n-1)$ 次元ハウスドルフ測度に関してほとんどすべての超平面でルジンの (N)-性質を満たすかを調査すること。
• $(N)$-性質が成り立つための $\rho$ に関する鋭い条件を特定し、必要性と十分性を示すこと。
• 有限歪みを有するホメオモルフィズムが $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ に属する場合、$Q(x)=K_f(x)$ および $Q_*(x)=[K_f(x)]^{n-1}$ をそれぞれ満たす下位およびリング $Q$-ホームオモルフィズムであることを示すこと。
• カルデロン条件が必要であることを示す反例を構成し、$(N)$-性質を欠く $W^{1,n-1}_{\rm loc}$ 内のホメオモルフィズムを含むこと。

提案手法

• 表面族のモジュラスと $\rho$ に関する積分的条件を用いて、$W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 内の開写像のほとんど everywhere での微分可能性を証明すること。
• 表面族のモジュラス理論を応用し、$(N)$-性質を分析し、$\rho$ の増大度と関連付けること。
• カルデロン条件を満たす $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 内の写像が、$Q(x)=K_f(x)$ を満たす下位 $Q$-ホームオモルフィズムおよび $Q_*(x)=[K_f(x)]^{n-1}$ を満たすリング $Q_*$-ホームオモルフィズムであることを確立すること。
• ${\mathbb R}^k$ 内の表面の斜交投影を用いて、明示的な反例を構成し、$(N)$-性質のためのカルデロン条件が必要であることを示すこと。
• 次元 $n \geq 3$ において、$(N)$-性質の鋭い基準として、$\int_1^\infty \left[ \frac{t}{\rho(t)} \right]^{1/(n-2)} dt = \infty$ を用いること。
• 既知の ACL 関数および $W^{1,p}_{\rm loc}$-$(N)$-性質に関する結果を、関数 $\rho$ を通じて Orlicz-Sobolev 空間に拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $\rho$ に対して、$W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 内の開写像が、ほとんどすべての超平面における $(n-1)$ 次元ハウスドルフ測度に関して (N)-性質を満たすための条件は何か？
• RQ2 カルデロン型の条件 $\int_1^\infty \left[ \frac{t}{\rho(t)} \right]^{1/(n-2)} dt = \infty$ が、$W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 写像の $(N)$-性質に対して必要かつ十分であるか？
• RQ3 有限歪みを有する $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 写像は、下位またはリング $Q$-ホームオモルフィズムとして分類可能か？その対応する $Q$ 関数は何か？
• RQ4 $(n-1)$ 次元ハウスドルフ測度に関して、ほとんどすべての超平面で $(N)$-性質を欠く $W^{1,n-1}_{\rm loc}$ 内のホメオモルフィズムは存在するか？
• RQ5 下位およびリング $Q$-ホームオモルフィズムの理論は、特に $p>n-1$ の場合に、Orlicz-Sobolev 空間にどのように拡張されるか？

主な発見

• カルデロン型の条件 $\int_1^\infty \left[ \frac{t}{\rho(t)} \right]^{1/(n-2)} dt = \infty$ を満たす $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 内の開写像は、ほとんど everywhere で微分可能である。
• $\rho$ がカルデロン条件を満たす $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 内の連続写像は、ほとんどすべての超平面における $(n-1)$ 次元ハウスドルフ測度に関して (N)-性質を有する。
• カルデロン条件は $(N)$-性質の十分条件であるだけでなく、必要条件でもある。$W^{1,n-1}_{\rm loc}$ 内の反例により、この条件を弱めるべきでないことが示された。
• カルデロン条件を満たす $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 内の有限歪みを有するホメオモルフィズムは、$Q(x) = K_f(x)$ を満たす下位 $Q$-ホームオモルフィズムおよび $Q_*(x) = [K_f(x)]^{n-1}$ を満たすリング $Q_*$-ホームオモルフィズムである。
• 本論文では、すべての超平面 $y = \text{const}$ において $(n-1)$ 次元ハウスドルフ測度に関して $(N)$-性質を欠く、$W^{1,n-1}_{\rm loc}$ 内のホメオモルフィズムの明示的例を構成し、条件の鋭さを証明した。
• 既存の予想（[23]のプレプリント）を反証し、$W^{1,n-1}_{\rm loc}$ 内のホメオモルフィズムでさえ、弱い形の必要条件を満たしても $(N)$-性質が成り立たないことを示した。