[論文レビュー] On Matched Metric and Channel Problem

Artur Popławski|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2016

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限集合上の部分関数が距離と整合的であるための十分条件を確立し、やや緩い定義の下で、二値対称的通信路（BAC）に対してそのような距離が存在することを証明する。主な貢献は、[1]における二値非対称的通信路（BAC）の任意の語長に対する整合的距離の存在に関する予想を解消する構成的証明である。

ABSTRACT

The sufficient condition for partial function from the cartesian square of the finite set to the reals to be compatible with some metric on this set is given. It is then shown, that when afforementioned set and function are respectively a space of binary words of length n and probalities of receiving some word after sending the other word through Binary Assymetric Channel the condition is satisfied so the required metrics exist.

研究の動機と目的

• 有限集合上の部分関数が距離と整合的であるための十分条件を確立すること。
• 既存の結果[1]を超えて、距離-通信路整合性の理論的枠組みを拡張すること。
• 任意の長さの二値非対称的通信路（BAC）に対して整合的距離の存在が保証されるかどうかという[1]における予想を解消すること。
• 通信路遷移確率から導かれる順序関係と整合的距離の存在との関係を明確にすること。
• 確率比較に基づく関係の推移的閉包を用いた構成的証明を提供すること。

提案手法

• 遷移確率を表す関数 f を用いて、無順序対の間の厳密な確率比較に基づく関係 R を定義する：{x,y}R{x,z} であるとは、f(x,y) > f(x,z) であるときを意味する。
• R の推移的閉包をとり、それが循環的不等式の仮定に基づく背理法によって反対称であることを証明する。
• 既知の定理（Suzumura の拡張定理）を用いて、部分順序を全順序に拡張する。
• 全順序に基づき、無順序対に実数値重み g を割り当て、対称的半距離 e を構成する。
• [1] の補題7を適用し、d(x,y) < d(x,z) が成り立つのは e(x,y) < e(x,z) のときに限ることを保証する距離 d を構成する。これにより、確率順序と整合する。
• BAC 遷移確率の対数変換のもとで構成が成り立つことを検証し、語内記号列の対称性により、循環和が消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限集合 X²∖Δ 上の部分関数 f: S → ℝ が、f(x,y) > f(x,z) ⇒ d(x,y) < d(x,z) を満たす距離 d と整合的となる条件は何か？
• RQ2 [1] における予想——任意の長さ n の BAC に対して、整合的距離が存在するか——は、距離-通信路一致の定義をわずかに緩めた場合に証明可能か？
• RQ3 このような距離の存在に、循環的確率不等式が果たす役割は何か？
• RQ4 BAC における二値語遷移の構造は、一貫性のある距離の定義可能性にどのように影響するか？
• RQ5 距離の構成は、語内の記号列の対称性にどの程度依存するか？

主な発見

• 距離整合性の必要十分条件が導出された：f(x₀,xₙ₋₁) > f(x₀,x₁), f(x₁,x₀) > f(x₁,x₂), ..., f(xₙ₋₂,xₙ₋₃) > f(xₙ₋₂,xₙ₋₁), および f(xₙ₋₁,xₙ₋₂) ≤ f(xₙ₋₁,x₀) を満たす循環的確率不等式が存在しないこと。
• 距離の構成は、確率に基づく関係を推移的閉包によって部分順序に変換することに依存しており、それが背理法により反対称であることが証明された。
• 部分順序は、全順序に拡張され、これにより無順序対に実数値重みが割り当てられ、半距離が定義された。
• 最終的な距離 d は、[1] の既知の補題7を用いて構成され、d(x,y) < d(x,z) が成り立つのは、確率に基づく比較 f(x,y) > f(x,z) が成り立つときのみであることが保証された。
• 二値非対称的通信路では、すべての語内遷移における対数確率差の循環和がゼロであることが示され、違反するサイクルの仮定と矛盾する。
• この背理により、そのようなサイクルが存在しないことが確認され、結果として、任意の長さ n に対する BAC に対して、緩い定義のもとで整合的距離が存在することを裏付けた。[1] における予想は、緩い定義のもとで解決された。