[論文レビュー] On $\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$-$(1+u)$-additive constacyclic

Ping Li, Wei Dai+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の長さの $ζ_2\u03b6_2[u]$-$(1+u)$-加法的循環符号について調査し、その代数的構造を多項式環 $R_{\alpha,\beta}$ の部分加群として特定する。最小生成集合を導出し、生成多項式を用いて双対符号を特徴づけ、グレイ写像を分析し、生成多項式の次数に基づいた符号パラメータの明示的公式を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we study $\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$-$(1+u)$-additive constacyclic code of arbitrary length. Firstly, we study the algebraic structure of this family of codes and a set of generator polynomials for this family as a $(\mathbb{Z}_{2}+u\mathbb{Z}_{2})[x]$-submodule of the ring $R_{α,β}$. Secondly, we give the minimal generating sets of this family codes, and we determine the relationship of generators between the $\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$-$(1+u)$-additive constacyclic codes and its dual and give the parameters in terms of the degrees of the generator polynomials of the code. Lastly, we also study $\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$-$(1+u)$-additive constacyclic code in terms of the Gray images.

研究の動機と目的

• コードを $R[x]$-加群として $R_{\alpha,\beta}$ の部分加群として特徴づけること。
• これらの符号の最小生成集合を特定し、符号とその双対符号の生成子の関係を確立すること。
• 生成多項式の次数に基づいた符号パラメータの明示的公式を導出すること。
• これらの符号のグレイ写像を分析し、グレイ写像下での双対符号との関係を明らかにすること。
• 混合アルファベットにおける循環符号の理解を、$ζ_2\u03b6_2[u]$-加法的符号の文脈で拡張すること。

提案手法

• 符号語を $R_{\alpha,\beta} = \mathbb{Z}_2[x]/\langle x^\alpha - 1 \rangle \times R[x]/\langle x^\beta - 1 - u \rangle$ 内の多項式のペア $(a(x), b(x))$ として表現し、符号を $R[x]$-部分加群として特定する。
• $(1+u)$-循環シフトを定義し、符号がこの操作に関して閉じていることを示し、符号の循環的性質を確立する。
• グレイ写像 $\phi$ を用いて符号を長さ $\alpha + 2\beta$ の二進線形符号に変換し、距離特性を保存することを保証する。
• 内積と多項式の双対性を用いて双対符号の生成多項式を導出し、特に $\gcd$ と逆多項式を含む。
• 符号の双対がグレイ写像下で保存されること、すなわち $\phi(C^\perp) = \phi(C)^\perp$ が成り立つことを確立する。
• 多項式環 $\mathbb{Z}_2[x]$ の結果を応用し、双対生成子を $\gcd(a(x), l(x))^*$ と逆多項式を用いて表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $ζ_2\u03b6_2[u]$-$(1+u)$-加法的循環符号の代数的構造を $R_{\alpha,\beta}$ の部分加群として特徴づけられるか？
• RQ2 これらの符号の最小生成集合とは何か？ また、それらは符号のパラメータとどのように関係するか？
• RQ3 元の符号の生成子を用いて双対符号の生成子をどのように表現できるか？
• RQ4 符号のグレイ写像と双対符号の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 生成多項式の次数が符号のパラメータにどのように影響するか？

主な発見

• 符号 $C = \langle (a(x), 0), (l(x), g(x)) \rangle$ は、$R_{\alpha,\beta}$ 内の生成多項式によって完全に特徴づけられ、$a(x)$ は $x^\alpha - 1$ を整除し、$g(x)$ は $x^\beta - 1 - u$ を整除する。
• 双対符号 $C^\perp$ の生成子は、$\bar{a}(x) = \frac{x^\alpha - 1}{\gcd(a(x), l(x))^*}$、$\bar{l}(x) = \frac{x^\alpha - 1}{a^*(x)} \lambda(x)$、$\bar{g}(x) = \frac{(x^{2\beta} - 1) \gcd(a(x), l(x))^*}{a^*(x) g^*(x)}$ で与えられ、ここで $\lambda(x) \in \mathbb{Z}_2[x]$ である。
• グレイ写像 $\phi(C)$ は長さ $\alpha + 2\beta$ の二進線形符号であり、$\phi(C^\perp) = \phi(C)^\perp$ が成り立ち、写像下で双対性が保存される。
• 符号 $C$ の次元は $k_1 + 2k_2$ であり、$|C| = 2^{k_1} 4^{k_2}$ である。双対符号のサイズは $|C^\perp| = 2^{\alpha + k_1 - 2k_0} 4^{\beta - k_1 - k_2 + k_0}$ であり、ここで $k_0$ は部分符号 $C_b$ の次元である。
• 形式 $C = \langle (a(x), 0), (l(x), u g(x)) \rangle$ の符号についても、双対生成子は同様に導出可能であり、$\bar{g}(x)$ は $x^{2\beta} - 1$ と逆多項式を含む。
• $g(x) = f_1^{i_1}(x) \cdots f_r^{i_r}(x)$ のとき、双対生成子 $\bar{f}_j(x)$ は $\frac{(x^{2\beta} - 1) \gcd(a(x), l(x))^*}{a^*(x) f_j^{*i_j}(x)}$ で与えられ、乗法的双対構造が明確に現れる。