[論文レビュー] On matrix modified KP hierarchy

A. Zabrodin|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、双線形形式および自由フェルミオンフォック空間技術を用いて、行列およびマルチコンポonent修正KP（mKP）階層を展開する。双線形恒等式を用いて、バーガー＝アキエツェル関数およびその随伴関数の補助線形問題を導出し、擬似差分作用素を用いたラックス表現を確立し、基本線形問題 ∂ₜ₁Ψ = e^{∂ₚ}Ψ + uΨ が双線形構造から直接導かれることが示され、行列mKP階層の可積分構造が第一原理的に明らかにされる。

ABSTRACT

Using the bilinear formalism, we consider multicomponent and matrix modified KP hierarchies. The main tool is the bilinear identity for the tau-function which is realized as an expectation value of a Clifford group element composed from multicomponent fermionic operators. We also construct the Baker-Akhiezer functions and derive auxiliary linear equations satisfied by them.

研究の動機と目的

• 双線形形式およびフェルミオンフォック空間技術を用いて、行列およびマルチコンポonent修正KP（mKP）階層を展開すること。
• バーガー＝アキエツェル関数およびその随伴関数の補助線形問題を第一原理から導出すること。
• 離散変数 p における擬似差分作用素を用いて、行列mKP階層のラックス表現を確立すること。
• 基本線形問題 ∂ₜ₁Ψ = e^{∂ₚ}Ψ + uΨ が、tau関数の双線形恒等式から直接導かれることが示されること。
• フェルミオン形式を、マルチコンポonentおよび行列mKP階層の文脈において、行列値tau関数および波関数作用素を含むように拡張すること。

提案手法

• N成分フェルミオンフォック空間におけるクリフォード群要素の真空期待値から導かれる、tau関数の配列 ταβ に対する双線形恒等式を用いる。
• p-インデックスをシフトしたtau関数の比として、バーガー＝アキエツェル関数 Ψ 及びその随伴関数 Ψ† を構成する。
• 離散変数 p における擬似差分波関数作用素を導入し、補助線形問題 ∂ₜₘΨ = AₘΨ の導出を可能にする。
• ラックス作用素を、時間変数に依存する係数を持つ無限級数 e^{k∂ₚ} の形に表現することで、ラックス表現を導出する。
• 広田の双線形方程式を適用して、線形問題の整合性を検証し、基本的 t₁-フロー方程式を導出する。
• ボソン化則を用いてフェルミオン作用素をtau関数の表現に写像し、tau関数に関する双線形恒等式の導出を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双線形形式および自由フェルミオンフォック空間を用いて、行列mKP階層を一貫して定式化することは可能か？
• RQ2 行列mKP設定におけるバーガー＝アキエツェル関数およびその随伴関数が満たす補助線形問題は何か？
• RQ3 基本線形問題 ∂ₜ₁Ψ = e^{∂ₚ}Ψ + uΨ は、tau関数の双線形恒等式からどのように導かれるか？
• RQ4 離散変数 p における擬似差分作用素を用いた行列mKP階層のラックス表現は何か？
• RQ5 双線形恒等式を用いて、t₁-フローを含む階層のすべての式を体系的に導出することは可能か？

主な発見

• 補助線形問題 ∂ₜ₁Ψ = e^{∂ₚ}Ψ + uΨ が、tau関数の双線形恒等式から直接導かれることが示され、行列mKP階層におけるその根本的役割が確立される。
• ラックス作用素が、時間変数に依存する係数を持つpにおける擬似差分作用素として表現され、行列mKP階層の完全なラックス表現が得られる。
• tau関数の双線形恒等式は、一貫的な還元および成分別解析を通じて、t₁-フローを含むすべての必要な広田型方程式を生成する。
• 波関数作用素は、擬似差分作用素として構成され、Ψ および Ψ† に対する線形問題がすべてシフト作用素 e^{k∂ₚ} を用いて導出可能である。
• 随伴バーガー＝アキエツェル関数は、波関数作用素の成分の時間微分に関する差分を含む双対線形問題を満たす。
• 導出結果により、行列mKP階層が、時間変数 tₘ と離散的シフト p が一様なマルチコンポonent mKP階層の整合的制限として生じることが確認される。