[論文レビュー] On maxima and ladder processes for a dense class of Levy processes

Martijn Pistorius|ArXiv.org|Feb 9, 2005

Probability and Risk Models参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、一般の Lévy 过程を正のジャンプがフェーズ型分布で与えられるマコフ添加過程（MAP）に埋め込むことで、最初の通過時刻およびラッダー過程の法則を明示的に近似する手法を開発する。行列ワイナーホフ因子分解を非線形固定点反復法により解くことで、幾何的収束が達成され、最初の通過時刻およびラッダー過程の分布に対する明示的公式が得られる。

ABSTRACT

Consider the problem to explicitly calculate the law of the first passage time T(a) of a general Levy process Z above a positive level a. In this paper it is shown that the law of T(a) can be approximated arbitrarily closely by the laws of T^n(a), the corresponding first passages time for X^n, where (X^n)_n is a sequence of Levy processes whose positive jumps follow a phase-type distribution. Subsequently, explicit expressions are derived for the laws of T^n(a) and the upward ladder process of X^n. The derivation is based on an embedding of X^n into a class of Markov additive processes and on the solution of the fundamental (matrix) Wiener-Hopf factorisation for this class. This Wiener-Hopf factorisation can be computed explicitly by solving iteratively a certain fixed point equation. It is shown that, typically, this iteration converges geometrically fast.

研究の動機と目的

• 一般の Lévy 过程の正のレベルを超える最初の通過時刻分布に対する明示的近似手法を提供すること。
• フェーズ型正のジャンプを有する Lévy 过程の上向きラッダー過程の法則を特定すること。
• マコフ添加過程のクラスにおけるワイナーホフ因子分解の計算的に効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 行列ワイナーホフ因子分解の反復的解法の幾何的収束を確立すること。
• Lévy 过程がフェーズ型ジャンプ分布を有する場合の既存のワイナーホフ因子分解結果を、マコフ添加過程への埋め込みによって拡張すること。

提案手法

• フェーズ型正のジャンプを有する Lévy 过程をマコフ添加過程（MAP）フレームワークに埋め込む。
• 最初の通過時刻とオーバーシュートの同時法則を特徴付けるために行列ワイナーホフ因子分解を用いる。
• 吸収を伴う有限状態の連続時間マコフ過程を用いて正のジャンプをフェーズ型分布でモデル化する。
• 非線形固定点方程式を繰り返し解くことで行列ワイナーホフ因子分解を導出する。
• 基本的な行列ワイナーホフ分解を適用して、最初の通過時刻およびラッダー過程の法則に対する明示的表現を取得する。
• ラプラス指数およびスケール関数に基づく収縮写像の議論を用いて、反復アルゴリズムの収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の Lévy 过程の最初の通過時刻分布は、フェーズ型正のジャンプを有する Lévy 过程の系列を用いて、任意に良く近似可能か？
• RQ2 フェーズ型ジャンプを有するマコフ添加過程に埋め込まれた Lévy 过程に対する行列ワイナーホフ因子分解の明示的形は何か？
• RQ3 ワイナーホフ因子分解の反復的解法の収束速度はどの程度で、どのような条件下で幾何的収束を示すか？
• RQ4 フェーズ型正のジャンプを有する Lévy 过程の上向きラッダー過程の明示的法則は何か？
• RQ5 提案された埋め込みおよび因子分解手法を用いて、最初の通過時刻とオーバーシュートの同時法則を明示的に特徴付けることができるか？

主な発見

• 一般の Lévy 过程の最初の通過時刻 $ T(a) $ の法則は、フェーズ型正のジャンプを有する Lévy 过程の系列の最初の通過時刻 $ T^n(a) $ により、任意に良く近似可能である。
• $ T^n(a) $ および $ X^n $（近似過程）の上向きラッダー過程の法則に対する明示的表現が導出された。
• 埋め込みマコフ添加過程の行列ワイナーホフ因子分解は、反復的固定点アルゴリズムにより解かれる。
• 条件 $ ext{I d}X^{(-)}_{1} \rangle 0 $ を満たすとき、反復は幾何的速さで収束し、$ \kappa'_{X^{(-)}}(0^+) < 0 $ のとき、写像 $ \tilde{\psi}^{\Phi(0)} $ は収縮写像である。
• ワイナーホフ因子分解の解は、非線形写像の唯一の固定点として得られ、安定性および一意性が保証される。
• 収束速度は期待値 $ \mathbb{E}[-I^{(-)}_{e(a)}] \Phi(a) \leq 1 $ に支配され、上記の条件下で幾何的収束が保証される。