[論文レビュー] On maximal inequalities for purely discontinuous $L_q$-valued martingales

Carlo Marinelli|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、補正された確率測度に関する確率積分によって生成される純粋に不連続な $L_q$-値 martingale について、ベクトル値確率的道具の代わりに古典的確率積分論（real semimartingale における）を用いて、鋭い最大不等式を確立する。主な結果は、$L_p$-ノルムにおける martingale の $L_q$-ノルムの上限と、予測可能特性に基づく被積分関数の混合ノルム表現との間の同値性を示し、すべての $p,q \in (1,\infty)$ に対して有効である。

ABSTRACT

We prove maximal inequalities for $L_q$-valued martingales obtained by stochastic integration with respect to compensated random measures. A version of these estimates for integrals with respect to compensated Poisson random measures were first obtained by Dirksen (arXiv:1208:3885) using arguments based on inequalities for sums of independent Banach-space-valued random variables, geometric properties of Banach spaces, and decoupling inequalities. Our proofs are completely different and rely almost exclusively on classical stochastic analysis for real semimartingales.

研究の動機と目的

• 補正された確率測度に関する確率積分から生じる純粋に不連続な $L_q$-値 martingale に対する最大不等式を確立すること。
• 予測可能特性のみを用いて、このような martingale の $L_q$-ノルムの上限の $L_p$-ノルムに対するバインドを提供すること。
• 点ごとの積分と古典的確率積分論が $p \neq q$ のとき鋭いバインドを導けないという一般的な信念に挑戦すること。
• デュルケンの「トップダウン」的手法（デカップリングとバナッハ空間幾何学に基づく）とは対照的に、ベクトル値最大不等式に対する「ボトムアップ」的代替手法を提示すること。

提案手法

• ベクトル値のローゼンタール型不等式やデカップリング不等式といった高度な道具を避けて、実数値 semimartingale における古典的確率積分論を用いる。
• quadratic variation process $[M,M]_\infty^{1/2}$ を予測可能部と martingale 部に分解する：$\left(\int |g|^2 d\mu\right)^{1/2} \leq \left|\int |g|^2 d\bar{\mu}\right|^{1/2} + \left(\int |g|^2 d\nu\right)^{1/2}$。
• 補正された確率測度に関する確率積分のモーメント推定に、伊藤の公式と一般化された Burkholder-Davis-Gundy 型不等式を用いる。
• 指数 $q$ についての帰納法を用い、$q=2$ から出発して、被積分関数の二乗に同じ推定手法を繰り返し適用することで、より高い $q$ へと拡張する。
• 混合ノルム空間における Hölder-Minkowski 不等式および三角不等式を用いて、被積分関数およびその予測可能射影の $L_p(L_q)$-ノルムを制御する。
• 被積分関数 $g$ の可積分性を特徴付けるために、$p$ と $q$ の相対的サイズに応じて、$L_{p,p,q}$、$L_{p,q,q}$、および $\tilde{L}_{p,q}$ の混合ノルム空間の組み合わせとして空間 $\mathcal{I}_{p,q}$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋に不連続な $L_q$-値 martingale に対する最大不等式は、実数値 semimartingale における古典的確率積分論のみを用いて導出可能か？
• RQ2 デカップリングやバナッハ空間の幾何的性質に依存せずに、このような martingale の $L_q$-ノルムの上限の $L_p$-ノルムに対する鋭いバインドを得ることは可能か？
• RQ3 点ごとの積分と古典的手法が $p \neq q$ のとき失敗するとされる一般的な信念が、この文脈において真実であるか？
• RQ4 $p \neq q$ のとき、被積分関数 $g$ の可積分性条件は予測可能射影 $\nu$ を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ5 martingale の $L_q$-ノルムの上限の $L_p$-ノルムを制御する混合ノルム空間 $\mathcal{I}_{p,q}$ の正確な構造は何か？

主な発見

• すべての $p,q \in (1,\infty)$ に対して、$\left\| \sup_{t \geq 0} \| (g \star \bar{\mu})_t \|_{L_q} \right\|_{\mathbb{L}_p} \asymp_{p,q} \| g \|_{\mathcal{I}_{p,q}}$ の同値性が確立される。ここで $\mathcal{I}_{p,q}$ は $p$ と $q$ に依存する混合ノルム空間の組み合わせである。
• バインドは補正項 $\nu$ のみで表現されており、martingale の $L_p$-ノルムにおける $L_q$-ノルムの上限の依存関係が、被積分関数の予測可能特性にのみ依存することを示している。
• $2 \leq q \leq p$ の場合、$q=2$ から出発して帰納法を用い、被積分関数の二乗に対するモーメントバインドを再帰的に適用することで推定を証明する。
• 証明により、$\mathbb{E}\left\| \left( \int |g|^4 d\nu \right)^{1/4} \right\|_{L_q}^p \lesssim \mathbb{E}\left\| \left( \int |g|^2 d\nu \right)^{1/2} \right\|_{L_q}^p + \mathbb{E}\left( \int \|g\|_{L_q}^q d\nu \right)^{p/q}$ が成り立つことが示され、帰納ステップが閉じる。
• 本手法はベクトル値ローゼンタール不等式の拡張やデカップリング技術を回避しており、同じ結果に至るより単純でアクセスしやすい道筋を提供する。
• 結果は、$p \neq q$ の場合であっても、古典的確率積分論の手法が鋭い最大不等式を導くのに十分であることを確認しており、このような結果を得るには高度なバナッハ空間幾何学が必要だとする一般的な見解に反する。