[論文レビュー] On maximization of measured $f$-divergence between a given pair of quantum states

Keiji Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、凸解析および非可換ラドン＝ニコディム導来を用いて、量子状態間の測定 f-発散度の単一コピー最大化を再定式化することで、f-発散度の単一コピー最大化を進展させる。f* が作用素凸である場合の D_f^{min} の閉形式表現を導出し、f = f_2 および f = f_{-1} の明示的解を含む。また、f* のフレシェ微分を用いて最適測定の取り扱いやすい行列方程式を提供する。

ABSTRACT

This paper deals with maximization of classical $f$-divergence between the distributions of a measurement outputs of a given pair of quantum states. $f$-divergence $D_{f}$ between the probability density functions $p_{1}$ and $p_{2}$ over a discrete set is defined as $D_{f}( p_{1}||p_{2}) :=\sum_{x}p_{2}(x) f\left(p_{1}(x)/p_{2}( x) ight) $. For example, Kullback-Leibler divergence and Renyi type relative entropy are well-known examples with good operational meanings. Thus, finding the maximal value $D_{f}^{\min}$ of measured measured $f$-divergence is also an interesting question. But so far the question is solved only for very restricted example of $f$. \ The purposes of the present paper is to advance the study further, by investigating its properties, rewriting the maximization problem to more tractable form, and giving closed formulas of the quantity in some special cases.

研究の動機と目的

• 量子状態間の測定 f-発散度の単一コピー最大化という長年の課題に取り組むこと。これは、漸近的解析と比較して、ほとんど未開拓であった。
• POVM における非凸最適化を、凸双対性を用いて、ヘルミート作用素上の取り扱いやすい凹関数最適化問題に再定式化すること。
• 特定の状況、例えば第一の状態が純粋状態である場合や、f が特定の関数形をとる場合に、D_f^{min} の閉形式表現を導出すること。
• 凸共役 f* を通じて、最適 f-発散度と非可換ラドン＝ニコディム導来との間の関係を確立すること。
• 集合測定を回避し、単一コピー測定の役割をより深く理解できるように、最適測定 f-発散度を計算するフレームワークを提供すること。

提案手法

• f* が作用素凸であるという条件下で、f-発散度の最大化問題を、ヘルミート作用素 T の凹関数の上界として書き直す。この際、f の凸共役 f* を用いる。
• 最適 f-発散度を D_f^{min}(ρ_1||ρ_2) = sup_T { tr ρ_1 T - tr ρ_2 f*(T) } と表現し、spec T ⊂ dom f* を満たすことで、POVM に依存しない定式化を可能にする。
• 最適 T_0 を求めるために、フレシェ微分 Df* の作用素を用いた行列方程式 ρ_1 = Df*(T_0)(ρ_2) を導出する。これにより、最大 f-発散度が得られる。
• f_2(λ) = λ^2 の場合、解は D_{f_2}^{min} = tr ρ_2 (T_0)^2 を与え、f_{-1}(λ) = λ^{-1} の場合も同様の閉形式が得られる。
• ρ_η' が ρ_η の小さな摂動であるような摂動的状態族に対して、リャプノフ型方程式を用いて T_0 を解き、漸近的展開を可能にする。
• ρ_1 に非自明な核を持つ場合、最適化を supp ρ_1 に制限することで、投影を用いた計算を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f が満たすべき必要十分条件は何か？ これにより、f* を用いた取り扱いやすい形で、最大化された f-発散度を表現できる。
• RQ2 f* が作用素凸であるという条件を、f 自身の言語に再定式化できるか？ これにより、量子 f-発散度理論における標準的仮定と整合性を保てるか。
• RQ3 D_f^{min} の計算可能な上界は存在するか？ これにより、単一コピーと漸近的性能を、量子仮説検定において比較可能になる。
• RQ4 ρ_1 に非自明な核を持つ場合、最適測定の構造はどのように変化するか？ また、この性質を計算複雑性の低減に活用できるか。
• RQ5 本手法を、状態パrameter の摂動に関する D_f^{min} の高階微分を計算するのにも拡張可能か？ これにより感度解析が可能になる。

主な発見

• 本稿は、f* が作用素凸であり、spec T ⊂ dom f* を満たす限り、D_f^{min}(ρ_1||ρ_2) を sup_T { tr ρ_1 T - tr ρ_2 f*(T) } として閉形式で表現することに成功した。これにより、POVM における最適化問題が行列凸最適化問題に変換される。
• f = f_2(λ) = λ^2 の場合、最適 f-発散度は D_{f_2}^{min} = tr ρ_2 T_0^2 であり、T_0 は ρ_1 = 1/2 (T_0 ρ_2 + ρ_2 T_0) を満たす。リャプノフ方程式を用いた取り扱いやすい解法が得られる。
• f = f_{-1}(λ) = λ^{-1} の場合、解は D_{f_{-1}}^{min} = tr ρ_2 (T_0)^{-2} であり、T_0 は同じ方程式を満たす。これにより、逆関数型発散度に対しても本手法が適用可能であることが示された。
• ρ_1 に非自明な核を持つ場合、最適化は supp ρ_1 に制限され、D_f^{min} はヒルベルト空間の拡張に対して不変であるため、計算が簡略化される。
• ρ_η の摂動的族に対して、f_b^* の展開を用いて D_f^{min} の2階微分を計算した。その結果、D_{f_b}^{min} = 1/4 tr (L_η^{S,2} ρ_η L_η^{S,2}) (η' - η)^2 + O((η' - η)^3) が得られ、感度解析が可能になる。
• 本手法により、状態の周囲における D_f^{min} の展開の2階項が計算可能であり、その結果は対称微分 L_η^{S,2} に依存する。これにより、f-発散度の局所幾何学を解析するためのツールが得られる。