[論文レビュー] On measure and Hausdorff dimension of Julia sets for holomorphic Collet--Eckmann maps

Feliks Przytycki|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 1995

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、臨界値からの平均的分離条件（ツジイ型）を満たす正則なコルレット–エーキンマン写像に対して、ジュリア集合のハウスドルフ次元が2未満であり、かつ滑らか（リーマン）測度をもたないことを確立している。主な結果は、ビショップとリュービッチが1995年のMSRIで提起した疑問に応えるものであり、連結なジュリア集合をもつ非部分指数的拡大写像が、常にハウスドルフ次元2をとるわけではないことを示している。これは、ジュリア集合が全球に一致しない場合でも成り立つ。

ABSTRACT

Let $f:\bar\bold C o\bar\bold C$ be a rational map on the Riemann sphere , such that for every $f$-critical point $c\in J$ which forward trajectory does not contain any other critical point, $|(f^n)'(f(c))|$ grows exponentially fast (Collet--Eckmann condition), there are no parabolic periodic points, and else such that Julia set is not the whole sphere. Then smooth (Riemann) measure of the Julia set is 0. For $f$ satisfying additionally Masato Tsujii's condition that the average distance of $f^n(c)$ from the set of critical points is not too small, we prove that Hausdorff dimension of Julia set is less than 2. This is the case for $f(z)=z^2+c$ with $c$ real, $0\in J$, for a positive line measure set of parameters $c$.

研究の動機と目的

• 1995年MSRIでビショップとリュービッチが提起した疑問に答えること：連結なジュリア集合をもつ非部分指数的拡大写像は、すべてハウスドルフ次元2をとるのか。
• 非一様的双曲的（コルレット–エーキンマン）写像の広いクラスに対して、ジュリア集合のハウスドルフ次元が2未満であることを確立すること。
• コルレット–エーキンマン条件および包あたる周期点の不在が成り立つ場合、ジュリア集合のリーマン（滑らか）測度がゼロであることを証明すること。
• 平均的臨界点からのツジイ条件が、パシム（確率的絶対連続不変測度）の存在を保証することを示し、これが次元の上限を導く中心的役割を果たすこと。

提案手法

• コルレット–エーキンマン条件およびツジイ条件の下で、パシムの存在を解析するためにα-等角的測度と移行作用素を用いる。
• 移行作用素によるスペクトルギャップ法を適用し、不変測度の等角的測度に対する密度の均一的下界を示す。
• ジュリア集合上の一様な双曲的構造と歪度制御を用いて、小さな球の逆像の直径の指数的減少を確立する。
• ベシコビッチ被覆定理を用い、正の滑らか測度の仮定から矛盾を導く。具体的には、そのような測度は正のリヤプノフ指数をもつパシムの存在と矛盾することを示す。
• ツジイ条件の下でパシムの存在を保証する鍵となる不等式（0.3）を証明する。この不等式は、反復された臨界値からの距離の逆数の積分を含む。
• HD(J) = 2 のとき2-等角的測度が存在することを示し、ツジイ条件の下でこの測度が条件（0.3）を満たすことを示す。これによりパシムの存在が保証され、これは定理Aの結論（滑らか測度ゼロ）と矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ビショップとリュービッチが提起した疑問に従い、連結なジュリア集合をもつすべての非部分指数的拡大写像は、ハウスドルフ次元2をとるのか。
• RQ2 コルレット–エーキンマン条件に加え、臨界値からの追加の平均的分離条件を満たす写像に対して、ジュリア集合のハウスドルフ次元が2未満であることは可能か。
• RQ3 包あたる周期点が存在せず、コルレット–エーキンマン条件が成り立つ場合、ジュリア集合のリーマン測度はゼロであるか。
• RQ4 ジュリア集合上の2-等角的測度が、パシムの存在を保証する統合条件（0.3）を満たすための条件は何か。
• RQ5 ツジイ条件は、コルレット–エーキンマン写像のジュリア集合のハウスドルフ次元が2未塔であることを保証するのに十分か。

主な発見

• コルレット–エーキンマン条件を満たし、包あたる周期点がなく、J(f) ≠ ℂ である有理写像に対して、ジュリア集合のリーマン測度はゼロである。
• 追加のツジイ条件（0.2）が成り立つと、ジュリア集合のハウスドルフ次元は2未満である。
• ツジイ条件は、ジュリア集合上の2-等角的測度が統合条件（0.3）を満たすことを示し、これによりパシムの存在が保証される。
• c ∈ [−2, 0] で実数であるf(z) = z² + c の族において、パrameter c に対して条件（0.1）および（0.2）が正の測度の集合で成り立つ。
• 正のリヤプノフ指数をもつパシムの存在は、定理Aの結論（滑らか測度ゼロ）と矛盾する。これにより、ツジイ条件が成り立つとき、HD(J) < 2 であることが証明される。
• 証明は、HD(J) = 2 ならば2-等角的測度が存在し、それが条件（0.3）を満たすことを示すことに依拠している。これによりパシムが存在し、定理Aの結論（滑らか測度ゼロ）と矛盾する。