[論文レビュー] On measures of maximal and full dimension for polynomial automorphisms of $\C^2$

Christian Wolf|ArXiv.org|Apr 2, 2001

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、熱力学的形式主義を用いて、ℂ²における双曲的多項式自己同型写像に対して、最大次元の測度の存在を確立し、そのような測度が1パrameter族のポテンシャルの均衡状態であることを示している。さらに、体積を保存しない写像では、全次元の測度は最大エントロピー測度でなければならないことが証明され、動的次元d(g)はパrameter族において連続的かつ複素下線型であることを示している。

ABSTRACT

For a hyperbolic polynomial automorphism of $\C^2$, we show the existence of a measure of maximal dimension, and identify the conditions under which a measure of full dimension exists.

研究の動機と目的

• 双曲的多項式自己同型写像のℂ²に対して最大次元測度の存在を確立すること。
• このような写像において全次元測度が存在するための条件を特定すること。
• 写像のパrameterに依存する動的次元d(g)の依存関係を分析すること。
• 体積を保存しない系における全次元測度と最大エントロピー測度の関係を明確にすること。

提案手法

• 動的系に関連する1パrameter族のポテンシャルを構成することで、熱力学的形式主義を用いる。
• 最大次元測度がこれらのポテンシャルの均衡測度として特定されることを示す。
• ヤングの公式（メトリックエントロピーとハウスドルフ次元の関係）を用いて、エルゴード的性質と次元論を結びつける。
• 実解析的および一意性定理を用いて、圧力関数に有限個の最大値が存在することを示し、最大次元測度の存在を保証する。
• 共役族と調和関数を用いて、正則パラメータ族におけるd(g)の連続性および複素下線型性を証明する。
• 圧力関数の実解析的性質および共役に関する結果 [VW] と [Wo1] を応用し、d(g)の正則性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂ²における双曲的多項式自己同型写像は、常に最大次元測度をもつのか？
• RQ2 このような写像において、全次元測度が存在する条件は何か？
• RQ3 全次元測度が存在する場合、それは一意的か？
• RQ4 体積を保存しない写像において、全次元測度が存在しうるか。存在する場合、その特徴は何か？
• RQ5 正則パラメータ族における写像のパラメータに応じて、動的次元d(g)はどのように変化するか？

主な発見

• すべての双曲的多項式自己同型写像のℂ²に対して、最大次元測度が存在し、そのような測度の集合は有限個である。
• 体積を保存しない写像では、全次元測度は最大エントロピー測度でなければならないため、このような測度は稀である。
• コロナリー3.6により、全次元測度は高々1つであることが示された。
• 双曲的パラメータ空間の稠密な開集合において、d(g)はdim_H J より厳密に小さい。
• 正則族におけるλ ↦ d(g_λ) は連続的かつ複素下線型である。
• 最大エントロピー測度であるため、すべての最大次元測度はベルヌーイ的である（位相的混合性および均衡状態の性質による）。