[論文レビュー] On metric viscosity solutions for Hamilton-Jacobi equations of evolution type

Atsushi Nakayasu|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、一般の距離空間における時間発展型ハミルトニアン・ジャコビ方程式に対して、最適制御原理を用いて、新しい距離空間における粘性解の概念を導入する。動的計画法に基づき、解の一意存在性を確立し、Giga らの[13]における粘性解枠組みと同等であることを証明する。本研究は、ユークリッド空間やバナッハ空間にとどまらず、任意の距離構造へと粘性解理論を拡張する。

ABSTRACT

This paper studies Hamilton-Jacobi equations of evolution type defined in a general metric space. We give a notion of a solution through optimal principles and establish a unique existence theorem of the solution for initial value problems. We also note a relationship between the notion of a solution and another notion based on characterization of the modulus of the gradient in the sense of [13].

研究の動機と目的

• 古典的な微分や勾配が、接空間構造の欠如により定義できない一般の距離空間におけるハミルトニアン・ジャコビ方程式の解概念を定義すること。
• 最適制御に基づく動的計画法を用いて、そのような方程式の初期値問題における一意存在定理を確立すること。
• 本稿で提案する解概念と、Giga, Hamamuki, Nakayasu の[13]における距離空間における粘性解枠組みとの関係を、特に下位解に関して結びつけること。
• ユークリッド空間やバナッハ空間にとどまらず、僅かに距離構造を持つ任意の距離空間へと粘性解理論を拡張すること。

提案手法

• 距離微分がほとんど everywhere で 1 以下に有界であるリプシッツ曲線を許容曲線として定義する。
• 動的計画法に基づき、下位解と上位解を定義する：下位解は、すべての（または一部の）許容曲線に沿って部分最適性条件を満たし、上位解は、超最適性条件を満たす。
• 全コスト（走行コストと終端値の和）の上界として、すべての許容曲線に関する上界としての値関数を構成する。
• 値関数が動的計画法を満たし、かつ下位解かつ上位解であることを証明する。
• 比較原理を用いて、同じ初期データを持つ任意の下位解が、同じ初期データを持つ任意の上位解によって上から押さえられることを示す。
• 値関数が初期条件を満たす下位解かつ上位解の条件を満たす唯一の関数であることを証明することで、解の一意存在性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接空間や古典的勾配が存在しない一般の距離空間において、ハミルトニアン・ジャコビ方程式の粘性解をどのように定義できるか？
• RQ2 最適制御に基づく本稿の解概念と、[13]における距離空間における粘性解概念との関係は何か？
• RQ3 ハミルトニアンに関する一般の仮定のもとで、任意の距離空間におけるハミルトニアン・ジャコビ方程式に一意解が存在するか？
• RQ4 最適制御問題の値関数は、動的計画法を満たし、かつ提案された意味での解として機能するか？
• RQ5 提案された解概念は、ユークリッド空間における古典的粘性解と同等であり、非滑らかまたは非リーマン的設定へとどのように拡張されるか？

主な発見

• 最適制御に基づき定義された値関数は、提案された距離空間における粘性解の意味でハミルトニアン・ジャコビ方程式の解である。
• 値関数は動的計画法を満たす：すべての h ∈ [0,t] に対して、U(x,t) = inf over curves of ∫₀ʰ L[ξ] dr + U(ξ(h), t−h) が成り立つ。
• 提案された定義のもとで、値関数は下位解かつ上位解であるため、解である。
• 解は一意的である：同じ初期データを持つ任意の二つの解は等しい。これは比較原理によって示された。
• 本稿の下位解の定義は、[13]における下位解の定義と同等であり、先行研究と整合的であることが確認された。
• 理論は滑らかさや線形構造を要しない任意の距離空間に適用可能であり、非ユークリッド的・非バナッハ的設定への粘性解の一般化を実現する。