[論文レビュー] On microlocalisation and the construction of Feynman Propagators for normally hyperbolic operators

Onirban Islam, Alexander Strohmaier|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2020

Advanced Differential Geometry Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、全球的因果的時空上のベクトル束上の通常双曲型作用素に対するフェイマン propagator のグローバル微局所的構成を発展させ、スカラーでない幾何的作用素へとデュイステルマット＝ホルンダーティーリーを一般化する。フェイマン propagator が、ヒルベルト空間の状態の正定値性を反映する性質を持つことが示され、特にスピン接続が正定値でない場合でも、微局所解析による波面集合とラグランジュ的分布の解析を通じて、ディラック型作用素に対しても成立する。

ABSTRACT

This article gives global microlocalisation constructions for normally hyperbolic operators on a vector bundle over a globally hyperbolic spacetime in geometric terms. As an application, this is used to generalise the Duistermaat-Hörmander construction of Feynman propagators, therefore incorporating the most important non-scalar geometric operators. It is shown that for normally hyperbolic operators that are selfadjoint with respect to a hermitian bundle metric, the Feynman propagators can be constructed to satisfy a positivity property that reflects the existence of Hadamard states in quantum field theory on curved spacetimes. We also give a more direct construction of the Feynman propagators for Dirac-type operators on a globally hyperbolic spacetime. Even though the natural bundle metric on spinors is not positive-definite, in this case, we can give a direct microlocal construction of a Feynman propagator that satisfies positivity.

研究の動機と目的

• グローバル的因果的時空上のベクトル束値通常双曲型作用素に対するフェイマンパラメトリクスのデュイステルマット＝ホルンダーティーリー理論の拡張。
• 波面集合とラグランジュ的分布を用いた、フェイマン propagator の幾何的・微局所的特徴付け。
• 曲がった時空上における量子場理論におけるハダマール状態の存在と等価な正定値条件を満たすフェイマン propagator の存在の証明。
• 自然なスピン接続が正定値でない場合でも、ディラック型作用素に対するフェイマン propagator の直接的微局所的構成。
• 微局所解析による cotangent bundle 上の統一的枠組みを通じて、スカラーおよび非スカラー幾何的作用素に対するフェイマン propagator の構成の統合。

提案手法

• 著者らは、正および負エネルギーのラグランジュ的錐 $C^\pm$ に関連するラグランジュ的分布を定義するために、余接 bundle 上のグローバル微局所解析を用いる。
• 波面集合上で反復的解法により輸送方程式を解くことでパラメトリクスを構成し、$(-\mathrm{i}X_\square + \sigma^\mathrm{sub}_\square)a_0 = b$ を解いて主要記号を特定する。
• この構成は、Egorov型定理と特異点の伝播を用いて、パラメトリクスの波面集合がラグランジュ的 $C^\pm$ 内にあることを保証する。
• ディラック型作用素に対しては、正定値でない計量を持つスピン束上で輸送方程式を解くことにより、直接的微局所的構成が達成され、得られる propagator の正定値性が保証される。
• 擬微分作用素の平方根構成（命題 F.2）を用いて、波面集合が所定の微局所的正定値条件を満たす自己共役パラメトリクスを構築する。
• 理論は、結果として得られるフェイマンパラメトリクスがハダマール条件を満たし、したがってハダマール状態を定義することを示す応用が可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通常双曲型作用素がベクトル束上のグローバル的因果的時空上で定義されている場合、幾何的および微局所的データのみを用いてフェイマン propagator を構成可能か？
• RQ2 フェイマンパラメトリクスのデュイステルマット＝ホルンダーティーリーの一意性結果は、ベクトル束上の非スカラー作用素へと拡張可能か？
• RQ3 フェイマン propagator に対して微局所的に正定値性条件を確立でき、量子場理論におけるハダマール状態の存在を反映できるか？
• RQ4 自然なバンドル計量が正定値でない場合でも、ディラック型作用素に対するフェイマン propagator を構成可能か？
• RQ5 グローバルな時間的キリングベクトル場が存在しない状況下で、パラメトリクスの波面集合を制御し、正しいエネルギー符号（正/負）に対応させることは可能か？

主な発見

• 本稿では、グローバル的因果的時空上のベクトル束上の通常双曲型作用素に対するフェイマン propagator が、グローバル微局所解析を用いて構成され、デュイステルマット＝ホルンダーティーリー枠組みが一般化された。
• 構成されたフェイマン propagator は、曲がった時空上における量子場理論におけるハダマール状態の存在に対応する正定値性を満たす。
• ディラック型作用素に対しては、自然なバンドル計量が正定値でない場合でも、直接的微局所的構成によりフェイマン propagator が達成された。
• 構成された propagator の波面集合は、正および負エネルギーのラグランジュ的錐 $C^\pm$ 内に位置し、正しい因果的およびエネルギー符号の振る舞いが保証された。
• 滑らか化作用素による同値関係に関して不変であるため、微局所的意味でフェイマンパラメトリクスの一意性が確認された。
• 波面集合上で輸送方程式の反復的解法を用いることで、フェイマン propagator を体系的に構築する方法が提供され、微局所的正定値性が保証された。