[論文レビュー] On minimal edge version of doubly resolving sets of a graph

Muhammad Ahmad, Zohaib Zahid+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2018

Graph Labeling and Dimension Problems被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、線グラフにおける辺距離を用いて定義される、グラフにおける二重に解決する集合の辺版を導入し、$n$-サナギグラフ $S_n$ およびプラズムグラフ $Y_n$ における最小基数 $ psi_E(G)$ を計算する。すべての $n \geq 3$ に対して $ psi_E(S_n) = 3$ が成立し、偶奇に依存しない。また $n \geq 6$ のとき $ psi_E(Y_n) = 3$ が示され、この場合、辺版二重解決集合が辺距離次元と一致することが確認された。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the edge version of doubly resolving set of a graph which is based on the edge distances of the graph. As a main result, we computed the minimum cardinality $ψ_E$ of edge version of doubly resolving sets of family of $n$-sunlet graph $S_n$ and prism graph $Y_n$.

研究の動機と目的

• グラフの線グラフにおける辺距離に基づいて、二重に解決する集合の辺版の概念を導入し、形式化すること。
• $n$-サナギグラフ $S_n$ およびプラズムグラフ $Y_n$ におけるそのような集合の最小基数 $\psi_E(G)$ を特定すること。
• 特定のグラフ族において、辺距離次元 $\dim_E(G)$ と辺版二重解決集合 $\psi_E(G)$ の間の関係を確立すること。
• $S_n$ および $Y_n$ に対して、辺距離表現を用いた対称的辺ラベリングと距離差解析を用いて、最小の辺二重解決集合の明示的構成を提供すること。

提案手法

• 2つの辺 $f,g$ 間の辺距離 $d_E(f,g)$ を、線グラフ $L(G)$ におけるそれらに対応する頂点間の最短経路長として定義する。
• 辺集合 $N_E$ に対する辺 $e$ の辺版表現 $r_E(e, N_E)$ を導入し、辺距離の $k$-タプルを形成する。
• 2つの異なる辺 $e \neq f$ に対して、$D_E$ 内の2つの辺が、それらの辺距離座標における差に相違を生じさせるような辺集合 $D_E$ を、辺二重解決集合として定義する。
• $S_n$ および $Y_n$ に対して、対称的辺ラベリングを用いて明示的な辺二重解決集合 $D_E^*$ を構成し、辺距離差ベクトルの一意性を検証する。
• $n$ の偶奇に基づく場合分けを用いて、すべての $n \geq 3$ に対して $ psi_E(S_n) = 3$ を証明し、$n \geq 6$ のとき $ psi_E(Y_n) = 3$ を示す。表に基づくメトリック座標の検証を活用する。
• 既知の辺距離次元 $\dim_E(G)$ の結果を活用し、$\dim_E(G) \leq \psi_E(G)$ であり、$S_n$ および $Y_n$ では等号が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$-サナギグラフ $S_n$ における辺版二重解決集合の最小基数 $\psi_E(G)$ は何か？
• RQ2 プラズムグラフ $Y_n$ における辺版二重解決集合の基数 $\psi_E(Y_n)$ は、$n$ の関数としてどのように振る舞うか？
• RQ3 $S_n$ および $Y_n$ において、辺版二重解決集合は辺距離次元 $\dim_E(G)$ と一致するか？
• RQ4 $S_n$ および $Y_n$ に対して、対称的辺ラベリングと距離差解析を用いて、辺版二重解決集合を明示的に構成できるか？

主な発見

• $n \geq 3$ のすべての $n$ に対して、辺版二重解決集合の基数 $\psi_E(S_n)$ は 3 であり、$n$ が偶数か奇数かにかかわらず一定である。
• $n$-サナギグラフ $S_n$ において、辺距離次元 $\dim_E(S_n)$ は $n$ の偶奇に依存するが、$\psi_E(S_n)$ は常に 3 のまま一定である。
• プラズムグラフ $Y_n$ に対して、すべての $n \geq 6$ で $\psi_E(Y_n) = 3$ が成り立ち、この値は辺距離次元 $\dim_E(Y_n)$ と一致する。
• $n = 2k$、$k \geq 3$ の $Y_n$ に対して、明示的な最小辺二重解決集合 $D_E^* = \{e_0, e_{k-1}, f_{k+1}\}$ を構成し、辺距離差ベクトルによる検証を実施した。
• $n = 2k+1$、$k \geq 3$ の $Y_n$ に対して、別の明示的集合 $D_E^* = \{e_0, e_k, g_{k+2}\}$ を構成し、$\psi_E(Y_n) = 3$ を確認した。
• 結果として、$n \geq 6$ のとき $S_n$ および $Y_n$ において $\dim_E(G) = \psi_E(G)$ が成り立つことが示され、辺距離次元が辺二重解決を達成するのに十分であることが確認された。