[論文レビュー] On minimal energy solutions to certain classes of integral equations related to soliton gases for integrable systems

Arno B. J. Kuijlaars, Alexander Tovbis|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2021

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 27被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、可積分系におけるソリトンガス密度をモデル化する積分方程式の解の存在、一意性、非負性を、修正されたエネルギー汎関数を最小化するポテンシャル理論を用いて確立する。密度関数 $ u(z) \geq 0 $ は絶対連続であり、焦点型NLSおよびKdV方程式の非線形分散関係を満たす。特に、リーマン面上のメロモーフィック微分を用いて凝縮状態のケースに対して正確な解が導出される。

ABSTRACT

We prove existence, uniqueness and non-negativity of solutions of certain integral equations describing the density of states $u(z)$ in the spectral theory of soliton gases for the one dimensional integrable focusing Nonlinear Schr\"{o}dinger Equation (fNLS) and for the Korteweg de Vries (KdV) equation. Our proofs are based on ideas and methods of potential theory. In particular, we show that the minimizing (positive) measure for certain energy functional is absolutely continuous and its density $u(z)\geq 0$ solves the required integral equation. In a similar fashion we show that $v(z)$, the temporal analog of $u(z)$, is the difference of densities of two absolutely continuous measures. Together, integral equations for $u,v$ represent nonlinear dispersion relation for the fNLS soliton gas. We also discuss smoothness and other properties of the obtained solutions. Finally, we obtain exact solutions of the above integral equations in the case of a KdV condensate and a bound state fNLS condensate. Our results is a first step towards a mathematical foundation for the spectral theory of soliton and breather gases, which appeared in work of El and Tovbis, Phys. Rev. E, 2020. It is expected that the presented ideas and methods will be useful for studying similar classes of integral equation describing, for example, breather gases for the fNLS, as well as soliton gases of various integrable systems.

研究の動機と目的

• 可積分系におけるソリトンおよびブレーカーガスのスペクトル理論の数学的基盤を確立すること。特に、焦点型非線形シュレーディンガー方程式（fNLS）およびKorteweg-de Vries方程式（KdV）を対象とする。
• 状態密度として物理的に解釈可能な $ u(z) \geq 0 $ を満たす、状態密度 $ u(z) $ およびその時間的類似物 $ v(z) $ を記述する積分方程式の解の存在および一意性を証明すること。
• 古典的ポテンシャル理論の変分法を、第3種のFredholm積分方程式（$ \sigma \geq 0 $ を満たす）に拡張すること。特に $ \sigma \equiv 0 $ の場合、ソリトン凝縮状態に対応する。
• $ \sigma $ および曲線 $ \Gamma^+ $ に対するさまざまな正則性仮定の下で、最小化子 $ \mu^* $ の滑らかさと幾何的台の性質を同定すること。
• 凝縮状態（$ \sigma \equiv 0 $）に対して、解 $ u(z) $ がハイペルエリプティックリーマン面 $ \mathcal{R} $ 上の正規化された準モーメンタム微分と関係することを示し、正確な解を導出すること。

提案手法

• ポテンシャル項 $ \sigma u^2 \, d\lambda $ を含む修正エネルギー汎関数 $ J_\sigma(\mu) $ を定式化し、Euler-Lagrange方程式が望ましい積分方程式 $ G\mu + \sigma u = \phi $ と一致することを保証する。
• 上半平面 $ \mathbb{C}^+ $ におけるポテンシャル理論を適用し、対数積分をグリーンのポテンシャル $ G\mu(z) = \frac{1}{\pi} \int_{\Gamma^+} \log \left| \frac{z - w}{z - \bar{w}} \right| \, d\mu(w) $ として解釈する。このポテンシャルは上半調和的であり、無限遠点で消える。
• $ \lambda $, $ \Gamma^+ $, $ \sigma $, $ \phi $ に対してやや弱い仮定を置くことで、$ J_\sigma $ の最小化子 $ \mu^* $ の存在および一意性を証明し、$ \sigma \mu^* \ll \lambda $ を保証する。
• 変分不等式および「ほとんど至る所（q.e.）」等価性の概念を用いて、$ \Gamma^+ $ 上で $ \mu^* $-ほとんど everywhere に $ G\mu^* + \sigma u^* = \phi $ が成り立つことを示し、$ \phi $ が上半調和関数である場合には $ \Gamma^+ $ 全体に拡張できることを示す。
• $ \Gamma^+ $ の解析的弧上で $ u^* $ の滑らかさを示すために、問題をラプラス方程式のディリクレ問題に還元し、楕円型正則性理論を適用する。
• 凝縮状態（$ \sigma \equiv 0 $）に対して正確な解を導出する。具体的には、$ u(z) $ がハイペルエリプティックリーマン面 $ \mathcal{R} $ 上の正規化された準モーメンタム微分 $ dp $ に比例することを示し、$ u(z) = \frac{i}{\pi} \frac{P(z)}{R(z)} $ と表される。ここで $ P $ は実係数をもつモニックな奇数次多項式、$ R $ は分岐切断関数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $ \sigma \geq 0 $ に対して、積分方程式 $ \frac{1}{\pi} \int_{\Gamma^+} \log \left| \frac{w - \bar{z}}{w - z} \right| u(w) \, d\lambda(w) + \sigma(z)u(z) = \operatorname{Im} z $ は、$ \Gamma^+ $ 上で一意的かつ非負の解 $ u(z) \geq 0 $ を持つか？
• RQ2 $ \sigma \geq 0 $ の場合に、修正エネルギー汎関数 $ J_\sigma $ の最小化子 $ \mu^* $ が、$ \mu^* $-ほとんど everywhere にとどまらず、$ \Gamma^+ $ 全体でEuler-Lagrange方程式 $ G\mu^* + \sigma u^* = \phi $ を満たすことが示せるか？特に $ \phi $ が上半調和関数である場合に注目する。
• RQ3 $ \mu^* $ の台の幾何的構造と滑らかさはどのようなものか？また、$ \sigma $ の正則性および曲線 $ \Gamma^+ $ の性質が $ u^* $ の滑らかさにどのように影響するか？
• RQ4 ソリトン凝縮状態（$ \sigma \equiv 0 $）の場合、解 $ u(z) $ がリーマン面上のメロモーフィック微分と関係しているか？また、この関係性を用いて正確な解を導出できるか？
• RQ5 fNLSソリトンガスの解とKdVソリトンガスの解の関係は何か？特に凝縮極限において、KdVの解はfNLSの解で表現できるか？

主な発見

• 修正エネルギー汎関数 $ J_\sigma $ の最小化により、$ \Gamma^+ $ 上に一意的な正のBorel測度 $ \mu^* $ が得られ、$ \sigma \mu^* \ll \lambda $ を満たす。密度関数 $ u^* = d\mu^*/d\lambda $ は、$ \mu^* $-ほとんど everywhere で $ G\mu^* + \sigma u^* = \phi $ を満たす。
• $ \phi $ が $ \mathbb{C}^+ $ 上で正で連続かつ上半調和関数であるとき、変分条件 $ G\mu^* = \phi $ は $ \Gamma^+ \setminus \operatorname{supp}(\mu^*) $ 上で成り立ち、$ \mathbb{C}^+ $ 全体で $ G\mu^* \leq \phi $ が成り立つ。これにより、グローバルな整合性が保証される。
• $ \sigma \equiv 0 $ である $ C^\infty $ スムーズな弧 $ \Gamma_1 \subset \Gamma^+ $ 上で、密度 $ u^* $ は $ C^\infty $ スムーズである。これは、問題をディリクレ問題に還元し、楕円型正則性理論を適用することで示される。
• 束縛状態fNLS凝縮状態（$ \sigma \equiv 0 $, $ \Gamma^+ \subset i\mathbb{R} $）において、解 $ u(z) $ は正規化された準モーメンタム微分 $ dp $ に比例し、$ u(z) = \frac{i}{\pi} \frac{P(z)}{R(z)} $ と表される。ここで $ P(z) $ は実係数をもつ次数 $ 2N+1 $ のモニックな奇数次多項式である。
• fNLS凝縮状態の解 $ u(z) $ は、すべての $ B $-周期上で $ \operatorname{Re} \int_{\gamma} u(z) \, dz = 0 $ および $ \operatorname{Im} \int_{\gamma} u(z) \, dz = 0 $ を満たす。これは、$ u(z) $ が正規化されたメロモーフィック微分であることを確認する。
• KdV凝縮状態では、$ u_{\text{KdV}}(z) = \frac{1}{2} u_{\text{fNLS}}(iz) $ が $ \Gamma^+ \subset \mathbb{R} $ 上で成り立ち、時間的方程式（1.2）の解は、両シートで無限遠点で $ O(z^2) $ の挙動を示すメロモーフィック微分の密度として与えられる。