[論文レビュー] On minimax theorems for lower semicontinuous functions in Hilbert spaces

Ewa M. Bednarczuk, Monika Syga|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2016

Optimization and Variational Analysis参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、コンパクト性や連結性の仮定を必要とせず、ヒルバート空間上の下半連続関数に対して最小最大定理を確立する。抽象的 $Φ$-部分微分と $Φ_{lsc}$-凸関数の交差性を用いた、最小最大等式の新規な特徴付けを導入し、特定のレベルにおける $Φ$-部分微分に基づく必要十分条件を提示する。

ABSTRACT

We prove minimax theorems for lower semicontinuous functions defined on a Hilbert space. The main tool is the theory of $Φ$-convex functions and sufficient and necessary conditions for the minimax equality to hold for $Φ$-convex functions. These conditions are expressed in terms of abstract $Φ$-subgradients.

研究の動機と目的

• コンパクト性や連結性の仮定なしに、ヒルバート空間上の下半連続関数に対して最小最大定理を確立すること。
• 抽象的 $Φ$-部分微分の交差性を用いて最小最大等式を特徴付けること。
• 任意の支援関数ではなく $Φ$-部分微分を用いて表される条件に、既存の $Φ$-凸関数の最小最大結果を拡張すること。
• 最小最大等式の必要十分条件を $Φ_{lsc}$-部分微分および $Φ_{conv}$-部分微分の観点から提示すること。
• 特定のレベルにおける交差性を活用することで、抽象凸解析における既存の最小最大結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• サポート集合と $Φ$-部分微分を用いて定義される $Φ$-凸関数に基づく抽象凸解析を用いる。
• 交差性（$[\varphi_1 < \alpha] \cap [\varphi_2 < \alpha] = \emptyset$ として定義される）を用いて最小最大等式を特徴付ける。
• $Φ_{lsc}$-凸性を用い、$\varphi(x) = -a\|x\|^2 + \langle \ell, x \rangle + c$ の形で、下から二次関数で有界な下半連続関数をモデル化する。
• $Φ$-部分微分の理論を用いて、交差性における任意の支援関数を特定の点における部分微分に置き換える。
• カントールの交差定理を用いて、部分集合の共通点を構成し、レベル $\beta$ における交差性の導出を可能にする。
• 最小最大等式と、$\inf_{x} \sup_{y} a(x,y)$ よりも低いレベルで、交差性を満たす $Φ$-部分微分の存在との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交差性における任意の支援関数の代わりに $Φ$-部分微分を用いて最小最大等式を特徴付けることは可能か？
• RQ2 どの条件下で $Φ_{lsc}$-凸関数がコンパクト性や連結性の仮定なしに最小最大等式を満たすか？
• RQ3 レベル $\alpha < \inf_x \sup_y a(x,y)$ における交差性は、同じ性質を満たす $Φ$-部分微分の存在とどのように関係するか？
• RQ4 どの条件下で最小最大等式が、$\inf_x \sup_y a(x,y)$ よりも低いすべてのレベルで交差性を満たす $Φ$-部分微分の存在と同値になるか？
• RQ5 レベル $\beta$ から $\alpha < \beta$ に移行する際、$Φ$-部分微分を用いて交差性が保存される条件は何か？

主な発見

• 最小最大等式が成り立つための必要十分条件は、任意の $\alpha < \inf_x \sup_y a(x,y)$ に対して、$y_1, y_2 \in Y$、$x_1 \in \text{dom}(a(\cdot,y_1))$、$x_2 \in \text{dom}(a(\cdot,y_2))$、および $\varphi_1 \in \partial_{\Phi_{lsc}} a(\cdot,y_1)(x_1)$、$\varphi_2 \in \partial_{\Phi_{lsc}} a(\cdot,y_2)(x_2)$ が存在し、$\varphi_1$ と $\varphi_2$ がレベル $\alpha$ で交差性を満たすことである。
• 反射的バナッハ空間上の $\Phi_{conv}$-凸関数に対しては、最小最大等式は、すべてのレベル $\alpha < \inf_x \sup_y a(x,y)$ で交差性を満たす $\Phi_{conv}$-部分微分の存在と同値である。
• レベル $\beta = \inf_x \sup_y a(x,y)$ における交差性は、小さな摂動に対しても保存され、カントールの交差定理を用いて部分集合の共通点を構成可能である。
• ある $\bar{y} \in Y$ が存在して $\inf_x a(x,\bar{y}) = \sup_y \inf_x a(x,y)$ かつ、ある $\gamma > \beta$ に対して $[a(\cdot,\tilde{y}) \leq \gamma]$ が有界であるならば、部分微分による交差性の適用が可能になる。
• すべての $\varepsilon > 0$ に対して、最小最大等式と、レベル $\alpha$ で交差性を満たす $\varepsilon$-部分微分の存在との同値性が成り立つ。これは、近似部分微分への一般化を示している。
• 本論文は、$\Phi_{lsc}$-凸性が、$\Phi_{lsc}$ に属する関数の点毎の上界としての表現を可能にする十分条件であることを確立している。ただし、$\Phi_{lsc}$ 内に厳密な下界が存在する必要がある。