[論文レビュー] On minimising automata with errors

Paweł Gawrychowski, Artur Jeż+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2011

semigroups and automata theory参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、有限オートマトンの$k$-最小化のための簡素化され、より効率的なアルゴリズムを提示している。有限言語に対しては$\mathcal{O}(\lvert M\rvert\log n)$の時間計算量を達成し、一般のDFA（部分関数を含むものも含む）に対しては$\mathcal{O}(\lvert M\rvert\log^2 n)$の時間計算量を達成している。また、$k$-最小化における誤差の最小化がNP困難であることを証明し、誤差を限定した圧縮の根本的な限界を確立している。

ABSTRACT

The problem of k-minimisation for a DFA M is the computation of a smallest DFA N (where the size |M| of a DFA M is the size of the domain of the transition function) such that their recognized languages differ only on words of length less than k. The previously best algorithm, which runs in time O(|M| log^2 n) where n is the number of states, is extended to DFAs with partial transition functions. Moreover, a faster O(|M| log n) algorithm for DFAs that recognise finite languages is presented. In comparison to the previous algorithm for total DFAs, the new algorithm is much simpler and allows the calculation of a k-minimal DFA for each k in parallel. Secondly, it is demonstrated that calculating the least number of introduced errors is hard: Given a DFA M and numbers k and m, it is NP-hard to decide whether there exists a k-minimal DFA N differing from DFA M on at most m words. A similar result holds for hyper-minimisation of DFAs in general: Given a DFA M and numbers s and m, it is NP-hard to decide whether there exists a DFA N with at most s states such that DFA M and N differ on at msot m words.

研究の動機と目的

• 部分的遷移関数を有するDFAの$k$-最小化のためのより簡単で高速なアルゴリズムの開発。
• アルゴリズムを拡張し、一度の実行ですべての$k$に対する$k$-最小DFAを計算可能にする。
• $k$-最小化中に導入される誤差の数を最小化する問題の計算量的複雑性の調査。
• 圧縮（状態数）と誤差数のバランスを計算的に扱えるかどうかの検討。

提案手法

• 著者らは、$k$-類似性を保持したまま状態を効率的にマージできる、洗練された状態同値類に基づく新しい$k$-最小化アルゴリズムを導入している。
• すべての$k$に対する結果を一度の実行で同時に計算できる、$k$-最小DFAのコンact表現を活用している。
• 言語の差が長さ$k$未満の語にのみ現れる場合にのみ考慮する、一般化された状態同値の概念を用いた、変更された分割精錬プロセスを用いている。
• 有限言語の場合、構造的性質を活用して最適化されたデータ構造により、時間計算量を$\mathcal{O}(\lvert M\rvert\log n)$に低減している。
• NP困難性の結果は、3彩色可能性問題への還元によって確立されており、$k$-最小化の誤差数が彩色違反の数に一致するDFAを構築している。
• レベルゲージと状態ハイパーキュービック同値性を用いて、誤差の伝搬を制御的にシミュレートし、正確な誤差数のカウントを可能にしている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的遷移関数を有するDFAのための、より簡単で高速な$k$-最小化アルゴリズムを設計可能か？
• RQ2 新アルゴリズムを用いて、一度の実行ですべての$k$に対する$k$-最小DFAを計算可能か？
• RQ3 $k$-最小化中に導入される誤差数を最小化する問題の計算量的複雑性はいかほどか？
• RQ4 元のDFAに対して、高々$s$個の状態と高々$m$個の誤差を持つDFAを多項式時間で見つけるアルゴリズムは存在するか？
• RQ5 圧縮（状態数）と誤差数のトレードオフを効率的に最適化できるか？

主な発見

• 提案された$k$-最小化アルゴリズムは、一般のDFAに対して$\mathcal{O}(\lvert M\rvert\log^2 n)$、有限言語に対しては$\mathcal{O}(\lvert M\rvert\log n)$の時間計算量を達成し、従来の最良のアルゴリズムを改善している。
• 新アルゴリズムは従来のアプローチよりも著しく単純であり、一度のパスですべての$k$に対する$k$-最小DFAの並列計算をサポートしている。
• $k$-最小DFAが高々$m$個の誤差を持つかどうかを決定する問題は、$k$が固定であってもNP困難である。
• 高々$s$個の状態と高々$m$個の誤差を持つDFAを見つける問題もNP困難であるため、圧縮と誤差のバランスを取るのが本質的に複雑であることが示された。
• 著者らは、$k$-最小化の誤差数がグラフの無効な3彩色の数に正確に一致するDFAを構築しており、3彩色可能性問題への還元によりNP困難性を証明している。
• 構築により、すべての誤差が長さ$k$未満の語に限定され、$k$-類似性が保証され、結果として得られる$k$-最小DFAが状態数において最適であることが証明された。