[論文レビュー] On Mittag-Leffler function and associated polynomials

D. Babusci, G. Dattoli+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2012

Mathematical functions and polynomials参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、分数マーカス・リーマン微分と関連するミタグ・レフラー関数（MLF）を調査し、新しい分数階の熱多項式および分数階のラゲール多項式の族を導入する。作用的積分法と積分表現を用いて、生成関数、微分方程式、積分恒等式を導出し、MLF、リッヒト関数、古典的直交多項式との関連を確立する。主な結果として、$ E_\alpha(-x^2) $ および $ W_{\alpha,\beta}(-x^2) $ の積分に対する閉形式表現が得られる。

ABSTRACT

The Mittag-Leffler function plays a role of central importance in the theory of fractional derivatives. In this brief note we discuss the properties of this function and its connection with the Wright-Bessel functions and with a new family of associated heat polynomials.

研究の動機と目的

• 分数微分のためのより深い解析的・計算的ツールの必要性に対応するため、ミタグ・レフラー関数（MLF）とその関連多項式を研究すること。
• MLFとリッヒト・ベッセル関数との関連を確立し、異常拡散に応用可能な新しい分数階多項式族を定義すること。
• MLF関連多項式の積分表現および生成関数を導出するための作用的技法を開発すること。
• 分数微分と作用的積分法を用いて、古典的多項式族（エルミート、ラゲール）を分数階に一般化すること。
• $ E_\alpha(-x^2) $ および $ W_{\alpha,\beta}(-x^2) $ を含む積分に対する閉形式表現を提供すること。

提案手法

• 分数階の熱多項式 $ {}_{\alpha}H_n(x,y) $ を、進化作用素 $ E_\alpha(k_\alpha t^\alpha \partial_x^2) $ を用いた分数階のフォッカー・プランク方程式の解として定義する。
• 生成関数 $ \sum_{n=0}^\infty \frac{\xi^n}{n!} {}_{\alpha}H_n(x,y) = E_\alpha(\xi^2 y) e^{\xi x} $ を導出し、これがアッペル族に属することを示す。
• 関数 $ \varphi(\mu) = 1/\Gamma(\mu) $ に対して $ \hat{c}^\alpha \varphi(0) = \varphi(\alpha+1) $ を満たすシフト型作用素 $ \hat{c} $ を用いた作用的積分法の形式的枠組みを導入する。
• 恒等式 $ E_\alpha(-x^2) = \frac{1}{1 + \hat{c}^\alpha x^2} \varphi(0) $ を用い、ガンマ関数の恒等式 $ \frac{1}{A^\nu} = \frac{1}{\Gamma(\nu)} \int_0^\infty e^{-sA} s^{\nu-1} ds $ を介して積分表現を導出する。
• ワイエルストラス関数 $ W_{\alpha,\beta}(x) $ を $ \hat{c}^{\alpha-1} e^{\hat{c}^\beta x} \varphi(0) $ として定義し、その級数展開および微分的性質を導出する。
• 分数階ラゲール微分作用素 $ {}_{\alpha}\hat{D}_{L,x} = -(1/\alpha) \partial_x^\alpha x \partial_x $ を用いて分数階ラゲール多項式 $ {}_{\alpha}L_n(x,y) $ を構成し、その生成関数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミタグ・レフラー関数を、分数階の熱多項式およびその生成関数と体系的に結びつける方法は何か？
• RQ2 $ E_\alpha(-x^2) $ の積分的性質は何か。作用的積分法を用いてどのように導出できるか？
• RQ3 分数微分は、エルミートおよびラゲールなどの古典的多項式族をどのように変形するか。その結果得られる一般化された多項式は何か？
• RQ4 積分および微分の閉形式表現を導出するための作用的積分法の枠組みは何か？
• RQ5 新しく導入された分数階多項式は、古典的直交多項式およびワイエルストラス関数とどのように関連しているか？

主な発見

• 作用的積分法とガンマ関数の恒等式を用いて、積分 $ \int_{-\infty}^\infty E_\alpha(-x^2) dx = \frac{\pi}{\Gamma(1 - \alpha/2)} $ が導出された。
• 分数階の熱多項式 $ {}_{\alpha}H_n(x,y) $ は、再帰的関係 $ \partial_x {}_{\alpha}H_n = n \, {}_{\alpha}H_{n-1} $ を満たし、$ \partial_y^\alpha $ を含む分数階微分方程式を満たす。
• 生成関数 $ \sum_{n=0}^\infty \frac{\xi^n}{n!} {}_{\alpha}H_n(x,y) = E_\alpha(\xi^2 y) e^{\xi x} $ は、それらがアッペル族に属することを確認する。
• 分数階ラゲール多項式 $ {}_{\alpha}L_n(x,y) $ は、指数関数的微分作用素 $ e^{y \, {}_{\alpha}\hat{D}_{L,x}} $ を用いて定義され、生成関数は $ \sum_{n=0}^\infty t^n \, {}_{\alpha}L_n(x,y) = \frac{1}{1 - yt} E_\alpha\left( -\frac{x^\alpha t}{1 - yt} \right) $ である。
• ワイエルストラス関数に対して、積分 $ \int_{-\infty}^\infty W_{\alpha,\beta}(-x^2) dx = \frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(\alpha - \beta/2)} $ が確立された。
• ワイエルストラス関数の分数階微分は $ \partial_x^m W_{\alpha,\beta}(x) = W_{\alpha + m\beta, \beta}(x) $ を満たし、古典的特殊関数の性質を一般化する。