[論文レビュー] On mixed fractional SDEs with discontinuous drift coefficient

Ercan Sönmez|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、標準的ブラウン運動と分数ブラウン運動を組み合わせた混合分数確率微分方程式（SDE）に対して、不連続な勾配係数をもつ解の存在および一意性を確立する。分数的ブラウン運動と不連続勾配の両方が存在する全範囲 H ∈ (1/2, 1) において、非マルコフ型のノイズにもかかわらず解析が可能となるように、絶対連続な導関数をもつ凸関数に対する新しい一般化された伊藤の公式を導入する。この公式は、解の分布の絶対連続性を用いて証明され、その結果、解の分布の密度に関する性質に基づく新たなアプローチが可能となる。

ABSTRACT

We prove existence and uniqueness of the solution for a class of mixed fractional stochastic differential equations with discontinuous drift driven by both standard and fractional Brownian motion. Additionally, we establish a generalized It\^o rule valid for functions with absolutely continuous derivative and applicable to solutions of mixed fractional stochastic differential equations with Lipschitz coefficients, which plays a key role in our proof of existence and uniqueness. The proof of such a formula is new and relies on showing the existence of a density of the law under mild assumptions on the diffusion coefficient.

研究の動機と目的

• 標準的および分数的ブラウン運動によって駆動される混合SDEに対して、不連続勾配係数をもつ解の存在および一意性に関する結果が不足しているという問題に取り組む。
• リプシッツ連続係数をもつ混合SDEに対して、絶対連続な導関数をもつ関数に適用可能な一般化された伊藤の公式を構築することで、古典的な伊藤積分の枠組みを不規則な勾配係数をもつ混合SDEへと拡張する。
• 拡散係数および分数係数に対してやや弱い条件下で、解の分布の絶対連続性を確立する。これは、新しい伊藤の公式の成立に不可欠である。
• マルコフ型および非マルコフ型のノイズ源を統合する、不連続勾配係数をもつ混合SDEのための統一的枠組みを提供する。

提案手法

• 不連続な勾配係数の除去を目的とした変換技術を適用し、正則な係数をもつ古典的SDEに問題を還元する。
• リプシッツ連続係数をもつ混合SDEの解に対して、絶対連続な導関数をもつ凸関数に対する一般化された伊藤の公式を導出する。
• 一般化された伊藤の公式の証明は、ミャリヴィン計算およびモーメント推定を用いて、解の分布の絶対連続性を確立することに依存する。
• 拡散係数および分数係数に対してやや弱い仮定のもとで、解の分布の密度の存在を示す。特に、ホルマンダー型の条件と部分積分法の応用が重要である。
• ミャリヴィン計算と経路積分の技術を組み合わせ、解の分布の正則性を活用して、一般化された伊藤の法則の正当化を図る。
• 滑らかな関数の近似列の収束を用いて、伊藤の公式における極限への移行を厳密に保証し、滑らかでない勾配係数に対しても結果が成立することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的および分数的ブラウン運動によって駆動される混合SDEに対して、不連続な勾配係数をもつ解の存在および一意性は、どのように確立できるか？
• RQ2 リプシッツ連続係数をもつ混合SDEの文脈において、絶対連続な導関数をもつ凸関数に対して一般化された伊藤の公式は有効か？
• RQ3 不連続な勾配係数をもつ混合SDEの解は、係数に関するやや弱い正則性条件のもとで、Lebesgue測度に関して密度をもつか？
• RQ4 滑らかさの仮定を一切おきずに、分布の絶対連続性のみを仮定することで、一般化された伊藤の公式を証明できるか？
• RQ5 拡散係数および分数係数にどのような条件を課すと、解の分布の絶対連続性が保証され、一般化された伊藤の公式の導出が可能になるか？

主な発見

• 本稿では、H ∈ (1/2, 1) の全範囲で、不連続な勾配係数をもつ混合SDEの解の存在および一意性が確立され、以前の結果が H < (1 + √5)/4 に制限されていたのを拡張する。
• リプシッツ連続係数をもつ混合SDEの解に対して、絶対連続な導関数をもつ凸関数に対する新しい一般化された伊藤の公式が導出された。
• 拡散係数および分数係数に対してやや弱い仮定のもとで、解の分布の絶対連続性が証明され、特に c の有界性およびリプシッツ連続な導関数が条件に含まれる。
• 一般化された伊藤の公式の証明は、解の分布が密度をもつことを示すことに依存しており、ミャリヴィン計算およびモーメント推定を用いてこれを確立する。
• 滑らかな関数の近似列を用いた極限の収束を厳密に正当化し、2階微分項が集合 {Xs = 0} 上でほとんど確実に消えることを示した。
• 変換技術と分布密度に関する議論を組み合わせることで、不連続勾配係数をもつ混合SDEに対して、新たなアプローチを提供する。この手法は、勾配係数が区分的リプシッツ連続であっても適用可能である。