[論文レビュー] On mixed multiplicities of ideals

Kiumars Kaveh, Askold Khovanskiĭ|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2013

Rings, Modules, and Algebras参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、局上市の $\mathfrak{m}$-primary 理想の混合多重度と、多様体上の有理関数部分空間の交線論の間の幾何的関係を確立する。この関係を活用することで、混合多重度に対する逆アレクサンドロフ＝フェンケルの不等式を導出し、凸錐内に内接する凸体の混合体積へと拡張する。不等式は近似法と多重線形性を用いて証明される。

ABSTRACT

Let R be the local ring of a point on a variety X over an algebraically closed field k. We make a connection between the notion of mixed (Samuel) multiplicity of m-primary ideals in R and intersection theory of subspaces of rational functions on X which deals with the number of solutions of systems of equations. From this we readily deduce several properties of mixed multiplicities. In particular, we prove a (reverse) Alexandrov-Fenchel inequality for mixed multiplicities due to Teissier and Rees-Sharp. As an application in convex geometry we obtain a proof of a (reverse) Alexandrov-Fenchel inequality for covolumes of convex bodies inscribed in a convex cone.

研究の動機と目的

• 局上市 $R = \mathcal{O}_{X,a}$ の $\mathfrak{m}$-primary 理想の混合多重度を、多様体上の有理関数部分空間の交線論を用いて幾何的に解釈すること。
• 交線論的技法を用いて、局上市における混合多重度に対する逆アレクサンドロフ＝フェンケルの不等式を証明すること。
• 近似法と多重線形性を用いて、凸錐内に内接する凸体の混合体積へ不等式を拡張すること。
• 代数的不等式である混合多重度の不等式を用いて、混合体積のアレクサンドロフ＝フェンケルの不等式を幾何的に証明すること。
• 交線論的有理関数部分空間の枠組みを通じて、可換代数、代数幾何、凸幾何の概念を統一すること。

提案手法

• 有理関数の $n$ 個の有限次元部分空間 $L_1, \ldots, L_n$ の交線指数 $[L_1, \ldots, L_n]$ を、ザリスキ開集合内での一般の切断の共通零点の個数として定義する。
• 交線指数の多重加法性を用いて、部分空間の半群のグローテンディーク群へ拡張し、ショクロフのキャリアル $b$-除数と関連付ける。
• 局上市 $R = \mathcal{O}_{X,a}$ の各 $\mathfrak{m}$-primary 理想を有理関数の部分空間に結びつけることで、混合多重度の幾何的解釈を可能にする。
• 部分空間の交線論におけるホッジ不等式に帰着させることで、混合多重度に対する逆アレクサンドロフ＝フェンケルの不等式を証明する。
• 一般の $C$-凸領域を有理的多面体領域で近似し、局所のベルンシュタイン＝クシュニレニコの定理を用いて、単項式理想の混合多重度と混合体積を関連付ける。
• 混合体積の連続性と多重線形性を活用して、多面体領域から一般の凸領域への不等式の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理関数部分空間の交線論を用いて、$\mathfrak{m}$-primary 理想の混合多重度をどのように幾何的に解釈できるか？
• RQ2 有理関数部分空間の交線指数と理想の混合多重度の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 混合多重度に対する逆アレクサンドロフ＝フェンケルの不等式は、交線論的原理から導けるか？
• RQ4 凸錐内に内接する凸体の混合体積と、理想の混合多重度の関係は何か？
• RQ5 近似法を用いて、代数的不等式である混合多重度の不等式から、混合体積のアレクサンドロフ＝フェンケルの不等式を証明できるか？

主な発見

• 混合多重度に対する逆アレクサンドロフ＝フェンケルの不等式が成り立つ：$e(I_1,I_1,I_3,\ldots,I_n)e(I_2,I_2,I_3,\ldots,I_n) \geq e(I_1,I_2,\ldots,I_n)^2$。
• トーリック多様体の局上市における単項式 $\mathfrak{m}$-primary 理想の混合多重度は、関連する凸領域の混合体積の $n!$ 倍に等しい。
• $C$-凸領域の混合体積は、混合多重度と同様の逆アレクサンドロフ＝フェンケルの不等式を満たす：$V(\Gamma_1,\Gamma_1,\Gamma_3,\ldots,\Gamma_n)V(\Gamma_2,\Gamma_2,\Gamma_3,\ldots,\Gamma_n) \geq V(\Gamma_1,\Gamma_2,\ldots,\Gamma_n)^2$。
• 混合体積の不等式は、一般の凸領域を有理的多面体領域で近似し、連続性と多重線形性を用いることで証明される。
• 混合多重度の不等式の証明は、ホッジ不等式に帰着され、これはグローバルなアレクサンドロフ＝フェンケルの不等式と同値である。
• 局所版のベルンシュタイン＝クシュニレニコの定理が確立される：$\Gamma_i$ が整数頂点を持つ多面体 $C$-凸領域であるとき、$e(I(\Gamma_1),\ldots,I(\Gamma_n)) = n! \cdot V(\Gamma_1,\ldots,\Gamma_n)$ が成り立つ。